彎曲的幾何#

從平面到彎曲#

• 平面 = 歐幾里得幾何：平行線永不相交，三角形內角和等於 180°
• 球面 = 彎曲的二維表面：雖然地球是三維物體，但球面本身在數學上仍是二維的（經度 + 緯度就夠了）

我們的世界：四維彎曲時空#

• 3 維空間 + 1 維時間 = 4 維時空
• 廣義相對論的核心主張：這個 4 維時空可以是彎曲的

測地線（geodesic）#

在彎曲表面上，仍然可以談論「最直的線」——兩點之間的最短路徑：

• 在球面上，這條最短路徑是大圓（大圓弧）
• 在任意彎曲表面上，這種最短路徑被稱為測地線

測地線是彎曲空間中「直線」的推廣。物體在沒有外力時，自然沿測地線運動。

黎曼幾何：廣義相對論的數學基礎#

• 1854 年，黎曼（Bernhard Riemann）發展了彎曲空間的數學
• 黎曼幾何後來成為廣義相對論的數學語言
• 在黎曼幾何中：
  • 「平行」的測地線可以相交，也可以發散
  • 三角形內角和可以大於或小於 180°