排序不等式是什麼#

如果你中學搞過奧數可能聽說過「排序不等式」——一個非常簡單的不等式，初中生都能明白。它告訴你「效率」和「公平」的本質關係。

商場促銷的例子#

你開了家商場：

• 平時客流量少（$x_1$），週末客流量多（$x_2$），$x_1 < x_2$
• 兩種運營方法：常規（$y_1$）和促銷（$y_2$），$y_1 < y_2$
• 收入 = 流量 × 運營效果

促銷手段用在平時還是週末？

答案當然是週末。「好鋼得用在刀刃上。」總銷量而言：

$$x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2 > x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1$$

也就是「大數乘大數加小數乘小數，大於大數乘小數加小數乘大數」。這就叫排序不等式。

一般化表述#

如果有兩組數字 $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$，$y_1 \le y_2 \le \cdots \le y_n$：

• 順序相乘最大：從小到大配對
• 逆序相乘最小：一組從小到大、另一組從大到小配對
• 混亂順序介於兩者之間

最大的和最大的結合、最小的和最小的結合，總效果總是好於讓大的和小的結合。

排序不等式是「零階道理」#

排序不等式是最底層的「不平等關係」。正因為這個邏輯，「效率」和「公平」本質上是矛盾的。

資源分配的例子#

你手裡有個大項目，放在哪個地區都能提升當地經濟發展。放在經濟發達地區還是邊遠落後地區？

• 只要你關心的是經濟總量提升、想給中央政府創造更多稅收 → 堅決投發達地區
• 發達地區的乘數要大得多
• 最好的資源應該用在最賺錢的地方
• 最厲害的人員應放在最關鍵的崗位

這也是為什麼：

• 好東西總愛扎堆
• 有志向的年輕人非得去大城市
• 有馬太效應（Matthew effect）
• 人人都想跟最好的合作
• 市場總是讓財富分布不平等

世界的非線性讓事情複雜化#

• 可能這個項目在發達地區發展空間已經飽和
• 落後地區以後發展潛力大
• 大城市生活成本太高
• 最優秀的導演不會重視某個劇本

但這些都是對零階道理的一階或高階修正，零階道理仍然是零階道理。 做決策必須首先考慮零階道理，只有證實在這裡不行的情況下才考慮那些修正。

幾種排序不等式失效的情況#

1. 有上限的系統#

• 學習成績有上限（滿分 100 分），重點班老師花功夫把好學生成績提高到 100 分，提升有限
• 造大橋不會重點打造其中一個橋墩
• 汽車零件不是越「好」越好，理想情況是所有難以更換的零件磨損壽命一樣

2. 有下限的系統（福利系統）#

• 貧困山區建通信基站效率確實不高，但貧困山區需要通信基站
• 福利系統解決的是公平問題
• 這種系統有時把最好的官員派到最貧困的地區去——不指望他們創造什麼效益，只希望提高那些地區的下限
• 既然是為了公平，那就必然犧牲了效率

3. 安全系統#

只要是防守，最關心的一定是最薄弱的地方，要把最好的資源和人手放在那個地方。

個人 vs. 管理者#

你必須清楚判斷：這是一個不設限系統、還是有上限或有下限的系統？

• 公司：關心總收入，本質上是不設限系統。應該狠抓「長板」——長板最能提高總量
• 有下限系統：最關心短板
• 有上限系統：希望每塊板都差不多

作為個體，如果你認為自己是個大數因子，那你最好不要待在有上限的系統中。教育系統搞數學競賽之類，也算是給好學生一個出路。

「高高配合」vs. 搞平均#

良品率的例子#

車間兩條生產線，每條需要兩個人配合完成產品。老張、老李良品率 95%，小張、小李良品率 75%。怎麼分組？

直覺分法（高低配）：老張+小張、老李+小李

• 兩組良品率都是 71.25%
• 你可能覺得高手能帶低手

排序不等式要求（高高配）：老張+老李、小張+小李

• 高手組：90.25%
• 低手組：56.25%
• 總平均：73.25% > 71.25%

排序不等式要求你讓高手跟高手搭配，弄一個特種部隊。雖然這會降低其他組的效率，但你的總效率是最高的。

而且高手在一起還能互相激發，也許可以進一步提高效率。老師為什麼不重視好學生？不僅因為好學生成績有上限，還因為好學生不用老師管自己就能好好學。

只要是涉及這種需要密切配合、是乘法關係的局面，就應該抽調最強的人馬組建特種部隊。哪怕所有人做的事本質都一樣，也應該讓高手跟高手搭配。

結論#

搞平均符合直覺，但是違反數學。

我們個人的生活和學習也是這樣的——直覺上你可能認為應該把每一件事都做好、每個學科都學好，其實不是。數學要求這是一個長板的世界，你應該把最好的精力、最多的時間用在最能體現你價值的項目上。

設重點、偏科、不均勻、走極端，這才是自然之道。