一個「捐款悖論」的故事#

2010 年，Facebook 創始人馬克・祖克柏（Mark Zuckerberg）向新澤西州紐瓦克市公立學校捐款 1 億美元，但多年後學校狀況並未根本改善。類似的外部干預對「馬爾可夫過程」是無效的。

設想 100 個學生中：認真的有 10% 機率變溜號，溜號的有 30% 機率變認真。不管你如何干預讓他們連續認真多少天，只要停止干預，他們終將回歸 75% 認真、25% 溜號的穩定狀態。

這不是巧合，是數學定理。

什麼是馬爾可夫過程#

以俄國數學家安德烈・馬爾可夫（Andrey Markov）命名。要求滿足 4 個條件：

1. 系統中有限多個狀態（如「認真」「溜號」）
2. 狀態之間切換概率是固定的（從認真到溜號的概率永遠是 10%）
3. 遍歷性：從任何狀態出發，都能找到切換到任何其他狀態的路徑
4. 無循環：不能幾個狀態形成閉環而把其他狀態排斥在外

馬爾可夫的宿命定理#

只要是馬爾可夫過程，不管初始值如何、也不管你在這過程中有什麼一次性的干預，它終究會演化到一個統計的平衡態：其中每個狀態所佔的比例是不變的。

生活中的馬爾可夫過程#

第二個條件（狀態之間切換概率固定）是關鍵。許多事情都是如此：

窮人借錢的困境#

• 不發達地區的人因疾病去借貸，還不上就成貧困戶
• 政府一次性給窮人發錢、讓他們債務還清——馬爾可夫模型說不行
• 你沒改變他下次得病或欠債的概率
• 你改變的只是初始條件

美國窮人失業#

• 很大程度上是自己的原因（不按時上班、跟老闆鬧矛盾辭職）
• 哪怕一次性給所有窮人安排工作，也改變不了他們的命運

馬爾可夫模型真是「江山易改本性難移」「授人以魚不如授人以漁」這些話的數學原理啊。

國家自由度#

歷史數據表明 5 年之內狀態轉換概率：

• 1975-2010 年，自由國家比例逐漸增多——看似自由是大勢所趨
• 但這犯了簡單外推謬誤
• 數學計算：到 2080 年，世界將演化到 62.5% 自由、25% 半自由、12.5% 不自由的穩態
• 只要切換概率不變，世界上始終都會有不自由的國家

馬爾可夫模型的應用#

Google PageRank 演算法#

• Google 要按訪問熱度給網頁排名，但沒有真實用戶點擊數據
• 把網頁想象成狀態，網頁間互相鏈接就是馬爾可夫狀態切換概率
• 根據定理：網頁被點擊比例終究會達到平衡態
• Google 計算這個平衡比例並排序

《聯邦黨人文集》作者識別#

• 三位美國政治家（亞歷山大・漢密爾頓、約翰・傑伊、詹姆斯・麥迪遜）在 1787-1788 年共同寫的 85 篇文章
• 其中幾篇不確定作者是誰
• 統計學家發現：一個作者的用詞習慣其實是個馬爾可夫過程
• 例如英文「for」後面接「example」還是「the」，對每個作者有固定概率
• 把文章馬爾可夫概率表跟作者對比，就能識別
• 結論：懸而未決的那幾篇最符合麥迪遜的寫作風格

路徑依賴 vs. 馬爾可夫#

生活中也有路徑依賴的事情——後面發生概率會根據之前發生的事作出改變：

• 兩種高清電視標準均勢時，如果你能一次性說服幾個重要廠商採納其中一個標準，其他廠商為兼容性也會跟著選這個標準
• 馬爾可夫模型說的則是那些概率不隨歷史發生改變的情況

應用原則#

靈活判斷：

• 酗酒的人一週不讓他喝酒，不足以改變他酗酒的概率
• 但如果你能讓他連續一年不喝酒，也許他就真戒酒了
• 逢年過節找志願者去養老院慰問，不足以影響老人長期精神狀態
• 可是養老院搞一個生活方式改革，也許就有實際效果

馬爾可夫模型解釋了歷史的怪圈：歷史很難改變。臨時性的措施往往沒長久的作用，本性的力量很強大。有些公司換了開明的領導人，可能剛開始幾年都挺好，之後又走回老路。

想要改變歷史，你得改變機制。