當索普（Ed Thorp）把賭場上的數學工具搬到華爾街，他做出的不只是個人致富——他親手鋪設了一條全新的投資公路：以隨機過程描述股價、用 delta 對沖將風險中性化、再以凱利準則決定倉位大小。本章從新墨西哥的草坪椅起，貫穿到 1987 年崩盤前夕，刻畫寬客時代真正的開幕。
從草坪椅到認股權證的金礦#
1965 年的偶然發現#
- 一個典型的炎熱乾燥午後，索普坐在新墨西哥州亞伯奎基（Albuquerque）的草坪椅上閱讀
- 他翻到的，是當時華爾街沒人在乎的角落：股票認股權證（stock warrants）
認股權證為何被忽視？#
- 本質：類似看漲期權（call option），是可在未來轉換為普通股的長期合約
- 數學上，看漲期權與認股權證完全等價
- 當時的權證流動性極差，被視為賭徒與「水桶店」（bucket shops）的地盤
- 沒人能精確定價它
對索普來說，這正是金礦——
- 他在二十一點上用過的工具，可以拿來判斷權證的價值
- 從加州大學爾灣分校（UC Irvine）到任教生涯，他開始尋找同道中人
與 Kassouf 共創「科學的股市系統」#
兩位學者的合流#
- 加州大學爾灣分校金融系教授 Sheen Kassouf 是黎巴嫩裔紐約客
- 1960 年代初便摸索如何為權證定價，雖未破解，但已掌握其機制
- 兩人每週見面數次，最終發展出史上最早的真正量化策略之一
可轉換債券的拆解#
- 可轉換債券（convertible bond）是混合型證券，由兩部分組成：
- 一部分是支付固定利息的債券
- 一部分是可轉換為股票的權證
- 為權證定價的難處：必須預測未來某時點上股價可能水準
- 索普與 Kassouf 的系統能夠：
- 為可轉債做出精確估值
- 找出哪些可轉債價格被市場誤判
隨機漫步：從花粉到債券的百年伏筆#
一條從植物學到金融的學術鏈#
- 索普此時讀到 1964 年論文集《股市價格的隨機性》（The Random Character of Stock Market Prices）
- 主張：市場走勢是「隨機漫步」（random walk）——漲跌的機率各為一半，與擲硬幣相同
三個關鍵人物#
- 羅伯・布朗（Robert Brown）
- 1827 年蘇格蘭植物學家，透過顯微鏡觀察花粉粒
- 看見它們持續抖動，後稱為布朗運動（Brownian motion）
- 數十年無人能解，直到 1905 年愛因斯坦（Albert Einstein）證實是因為微觀粒子的能量碰撞
- 路易・巴舍利耶（Louis Bachelier）
- 1900 年巴黎大學的博士生
- 論文《投機理論》（The Theory of Speculation）首次將布朗運動套用在金融資產上
- 主張：巴黎股票交易所的債券價格，逐分逐秒跳動的方式與花粉粒幾乎一致
- 名言：「當前價格就是真實價格；若市場另有判斷，就會給出更高或更低的報價。」
何謂「醉漢漫步」（drunkard’s walk）#
想像 1900 年巴黎濃霧之夜，蒙馬特路燈下一位喝醉的藝術家，正試圖走回家。他先朝南猛衝五秒、再改主意往西、又改主意往南……他往東走 5 英尺與往西走 5 英尺的機率相同，正如 100 法郎債券漲 1 法郎與跌 1 法郎的機率相同。
- 把多次嘗試的結果畫成圖，就會得到一條對稱、中間隆起的「鐘形曲線」（bell curve）
- 大部分結果落在中間：例如丟 1,000 次硬幣，最可能的結果是 500 正 500 反
- 極端結果（900 正 100 反）落在曲線兩端，被稱為「尾部」（tails）
索普如何把隨機漫步變現#
把花粉公式套到 IBM#
- 與賭桌相同的核心法則：大數法則讓長期勝率變得可預測
- 雖然無法判斷某張牌或某天的股價走向，但他能算出股價在某一區間移動的機率
- 對量化界而言，這個變數就叫做波動率（volatility）——是隨機的，因此可被量化
- 一個直觀範例：
- IBM 現價 100 美元，一張認股權證將在 12 個月後到期
- 只有當 IBM 股價於這 12 個月內漲到 110 美元，這張權證才有價值
- 透過布朗運動公式 + 該股相對市場的漲跌傾向，索普可以估出權證的真值
物理學者眼中其實沒什麼神祕#
- 對保守的國庫券／藍籌股投資者而言，這彷彿在用水晶球看未來
- 對受過物理訓練的索普而言，只是「依固定參數為未來事件指派機率」——工程師的日常工作
《擊敗市場》與效率市場的對撞#
1967 年的量化聖經#
- 索普與 Kassouf 合著《擊敗市場：科學的股市系統》（Beat the Market: A Scientific Stock Market System）
- 成為投資史上影響最深遠的工具書之一
- 但也直接撞上學術界當時冒起的新教條：效率市場假說（efficient-market hypothesis, EMH）
EMH 與索普的分歧#
- 1960 年代末，由芝加哥大學金融教授 Eugene Fama 推廣
- 核心主張：
- 市場是隨機的（沿用 Bachelier 的觀點）
- 現價已反映所有已知資訊
- 因此持續打敗市場是不可能的
- 「世上沒有免費的午餐」
- EMH 後來孕育出規模上兆的指數型基金（index fund）產業
- 索普完全理解隨機漫步——他自己就用它定價權證——但認為 EMH 是「象牙塔的學究空話」
- 過去人們也曾相信「不可能擊敗發牌員」
- 他已用數學證明那些懷疑者錯了
投資合夥人的興起#
- 索普與 Kassouf 用模型在權證市場大賺特賺
- 同事們聞風要求加入，很快接近 SEC 對「投資顧問」必須登記的門檻
- 索普想到必須建立一個「集中投資池」——但不知怎麼做
- 答案來自一位即將成為傳奇的投資人：華倫・巴菲特（Warren Buffett）
認識「避險基金」這個玩意#
1968 年的拉古納海灘#
- 索普開車到加州拉古納海灘（Laguna Beach）拜訪正在度假的巴菲特
- 當時巴菲特正在結束他的投資合夥事業（Buffett Limited Partnerships），把資產分給投資人——其中包括一家新英格蘭紡織廠 Berkshire Hathaway
- 巴菲特認為市場條件不佳，宣告退場——日後正是這個 Berkshire 把他變成首富、人稱「奧馬哈先知」（Oracle of Omaha）
結構從何而來？#
- 巴菲特用的合夥制度，師承價值投資之父班傑明・葛拉漢（Benjamin Graham）
- 同一個結構也被前《財富》雜誌作家 Alfred Winslow Jones 採用
- 這個結構就是：避險基金（hedge fund）
為什麼避險基金可以「為所欲為」#
1940 年美國《投資公司法》（Investment Company Act）的設計，是為了保護一般小投資人免於被共同基金經理人剝削。但國會留下了一個豁免：
- 投資人不超過 99 名富人
- 每人資產達 100 萬美元以上
- 不對外宣傳
同時滿足以上條件，基金經理人「幾乎想做什麼都可以」。
- Jones 將基金設立於離岸（offshore）以規避監管
- 收取 20% 的績效費（performance fee）
- 採取「多空並進」（long-short）策略：作多看好的股、做空看壞的股
- 「short 部位避險了 long 部位」是「hedge fund」這個名稱的由來
- 過去 10 年績效高達 670%，吸引大量模仿者
從「巨星避險基金」到全國 140 檔#
- Jones 也是初代寬客：用統計分析管理風險、用槓桿放大報酬
- 槓桿是雙刃劍：定位正確時放大收益，方向錯誤時放大災難
- 索羅斯（George Soros）等明星避險基金經理人陸續登場
- 1968 年，全美避險基金已達 140 檔——索普即將加入這個名單
Princeton/Newport：第一個量化避險基金#
1969 年的合夥對象#
- 索普於 1969 年 8 月遇上達特茅斯哲學系畢業、任職費城券商 Butcher & Sherrerd 的 Jay Regan
- Regan 比索普年輕整整十歲，讀過《擊敗市場》深受震撼
- 雙方分工：
- 索普留在新港灘（Newport Beach）並繼續任教 UC Irvine，負責策略研發
- Regan 在新澤西普林斯頓（Princeton）負責華爾街的接洽
- 1969 年成立 Convertible Hedge Associates，1975 年改名 Princeton/Newport Partners
策略：放空高估的權證 + 對沖#
- 索普用模型掃描幾百種權證，多數明顯被高估
- 投資人對權證「到期落在價內」（in the money）過度樂觀，正如球迷高估自家球隊
- 索普的做法：
- 借入該權證，現價賣出（即放空）
- 期望日後低價買回，賺取價差
- 風險：若標的股票飛漲，權證跟著上漲，放空可能無上限地賠錢
- 解法：套利（arbitrage）
套利、單一價格與 delta hedging#
真套利幾乎是穩賺：在一個市場買入資產、同時在另一市場以更高價賣出。
- 例如金子在紐約 1,000 美元、倫敦 1,050 美元，套利者立即兩地對沖賺取 50 美元差價
- 這背後的原理是「單一價格法則」（law of one price, LOP）：相同資產不應在兩地有顯著價差
- 18 世紀紐約 buttonwood tree 下的交易很難做到，但電報、電話、高速數據機與通訊衛星後變得容易
- 在權證的隱蔽世界裡，索普與 Kassouf 找到的是套利金礦：
- 放空被高估的權證
- 同時買入相應數量的標的股票對沖
- 最佳情況：權證跌、股票漲，雙邊獲利
- 這套策略後稱為可轉換債券套利（convertible bond arbitrage）
- 後來支持了上千檔避險基金
- 包括日後肯・葛瑞芬（Ken Griffin）的 Citadel 投資集團
- 計算需要持有多少股票避險的關鍵公式，後人稱為 delta hedging
- delta（Δ）指股票與權證／期權之間的價格變動關係
凱利準則回到資產管理#
- 索普清楚每筆交易的潛在輸贏，因此能用凱利公式（Kelly criterion）決定倉位
- 牌組對自己有利：加大下注
- 賠率不利：謹慎觀望、保留現金
- 同時索普近乎偏執地擔心：東京地震、紐約核爆、流星墜落華府等小機率黑天鵝
- 這份偏執，正是他長線存活的關鍵——「天涼了就把籌碼收下桌」
「天涼了就把籌碼收下桌」——這正是後來那一代寬客忽略的教訓。
Black–Scholes 公式登場#
Princeton/Newport 的爆發#
- 1970 年：基金 +3%，標普 -5%
- 1971 年：基金 +13.5%，市場 +4%
- 1972 年：基金 +26%，市場 +14.3%
- 索普把追蹤與權證定價程式編寫進新港灘辦公室的 HP 9830A 電腦中
1973 年那封來自芝加哥的信#
- 寄信者：芝加哥大學古怪的經濟學家 Fischer Black
- 同信還有他與另一位芝加哥經濟學家 Myron Scholes 合著的論文草稿
- 主題：以類似 delta hedging 的方法為股票期權定價
- 後人稱之為布雷克–舒爾斯期權定價公式（Black–Scholes option-pricing formula）
公式的歷史地位#
- 索普把公式輸入 HP 電腦，得到的價格與自家公式幾乎一致
- 對量化金融的意義，可比 1905 年愛因斯坦提出相對論
- 既改寫了人們看待金錢與投資的方式
- 也埋下了一連串金融災難的引信，最終於 2007 年 8 月引爆
公式的核心假設#
- 與索普一樣，假定股價走的是隨機漫步
- 1973 年論文寫道：「股價在連續時間內遵循隨機漫步」
- 因此可由波動率推算價格在特定時間區間的可能變動
公式的致命盲點#
- Brown→Bachelier→Black–Scholes 這條知識鏈最終成為華爾街每天交易兆元級資產的工具
- 但布朗運動默認忽略了「巨大跳躍」：
- 把市場想像成那個醉漢，他不會在一瞬間從巴黎聖母院跳到塞納河對岸的索邦大學
- 然而真實市場確實會在一瞬間大跳
- 公式排除了人性因素：
- 重大醜聞、藥物失敗、產品出包、恐慌性出逃
- 「投資人常像羊群一樣，跟著彼此走，甚至一起跳下懸崖」
- 索普因偏執而做出調整、永遠關注實際勝率與凱利下注，使他不致過度依賴模型
- 但下一代寬客可能更年輕、更天真，逐漸把模型誤當作市場本身——「鏡廳幻象」
模型驅動的時代正式登場#
芝加哥期權交易所的開幕#
- 米爾頓・傅利曼（Milton Friedman）等芝加哥經濟學家正籌備一個期權交易所
- Black–Scholes 的突破公式為其推波助瀾
- 1973 年 4 月 26 日（公式發表前一個月），芝加哥期權交易所（Chicago Board Options Exchange）開張
- 不久 Texas Instruments 推出可用 Black–Scholes 公式定價期權的手持計算機
諾貝爾獎與被遺忘的人#
- 1997 年諾貝爾經濟學獎頒給 Scholes 與 Robert Merton（以隨機微積分驗證模型的 MIT 教授）
- Black 已先過世，諾獎不追頒
- 索普因論文未完整發表，從未獲得正式學術認可
- 但他靠這套公式賺進數億美元
Princeton/Newport 的傳奇紀錄#
- 1974 年《華爾街日報》頭版報導：「玩賠率：一個男人靠電腦公式在市場成功的祕訣」
- 經紀商消息來源指其年化淨值成長超過 20%
- 同年市場 -26%，基金 +9.7%
- 從成立到 1980 年代中期，連續 11 年雙位數報酬，從未有過虧損年或虧損季
- 1982 年索普辭去 UC Irvine 教職全職管錢
- 1985 年 11 月止，基金 +12%，市場 -20%；管理規模 1.3 億美元
統計套利的誕生#
Gerry Bamberger 在摩根士丹利#
- 哥倫比亞大學電腦科學畢業，1980 年加入摩根士丹利（Morgan Stanley）
- 為大宗股票交易部門寫軟體
- 大宗交易部門用「配對策略」（pairs strategy）降低風險：例如手上持有大量 GM 同時放空相應 Ford
對價差的觀察#
- Bamberger 注意到大宗交易往往會推動該股價格短暫偏離
- 配對股票卻幾乎不動，導致兩者的「價差」（spread）暫時失常
- 例：GM 通常 10 美元、Ford 通常 5 美元；GM 因大買單暫時漲到 10.50 美元、Ford 不動
- 解法：放空被推高的那檔，做多沒動的那檔，等待價差回歸
從 50 萬到 3,000 萬#
- 1983 年初拿到 50 萬美元起跑
- 9 月部位達 400 萬
- 1984 年初 1,000 萬、10 月 1,500 萬
- 1985 年規模 3,000 萬
- 但摩根高層認為「不該把這台印鈔機交給工程師」，將部門交給 Nunzio Tartaglia 接手，Bamberger 憤而離職
Nunzio Tartaglia 與 APT#
- 布魯克林出生，耶魯物理碩士；曾入耶穌會 5 年
- 後改讀匹茲堡大學天體物理博士
- 1980 年代初進美林（Merrill Lynch）擔任零售經紀人，輾轉五家公司後 1984 年加入摩根
- 把部門改名為 Automated Proprietary Trading（APT）
- 接上紐約證交所的 SuperDOT 自動下單系統
- APT 的交易量一度占紐交所每日量的 5%
- 統計套利策略獲利：1985 年 600 萬、1986 年 4,000 萬、1987 年 5,000 萬
David Shaw 的離開與 D. E. Shaw 的崛起#
- 1986 年 Tartaglia 從哥倫比亞大學挖角電腦奇才 David Shaw
- 主攻 parallel processing（多台主機同時運算）
- 想做交易策略，被 Tartaglia 排擠
- 1987 年 9 月一次內部簡報，他越線討論複雜的量化債券套利
- 周末他決定離職，Tartaglia 樂見其去
- 後成立 D. E. Shaw（資本 2,800 萬美元），核心策略仍是統計套利
- 「這可能是摩根史上最重大的人才流失之一」
APT 的衰敗與策略的擴散#
- Morgan 高層 1988 年將 APT 資本由 9 億砍至 3 億
- Tartaglia 把槓桿拉到 8:1，最終 1989 年虧損、被掃地出門，APT 關閉
- Bamberger 則被前同事介紹給 Princeton/Newport，索普與 Regan 出資成立 BOSS Partners
- 名稱來自 Bamberger 與 Oakley Sutton Securities（Oakley、Sutton 是索普與 Regan 的中間名）
- 第一年年化 30%，1988 年規模約 1 億美元
- 1988 年底 Bamberger 倦勤離開，去紐約州立大學水牛城分校教金融與法律
統計套利散播至整條華爾街#
- Tartaglia 與 Bamberger 的舊部下擴散至各家投行與避險基金（含高盛）
- D. E. Shaw 模仿者眾多
- Robert Frey（前 APT 研究員）將 stat arb 帶入文藝復興科技
- 彼得・穆勒（Peter Muller）數年後在摩根另創更穩健的 stat arb 引擎
- 肯・葛瑞芬則把它複製到 Citadel
- 「stat arb 變成華爾街最受歡迎、也最穩定的賺錢方式——直到 2007 年 8 月，因為太受歡迎而集體爆雷。」
索普影響力的另一條支線#
- MIT 出現一群算牌玩家，後來成為《Bringing Down the House》與電影《21》的主角
- 早期成員 Blair Hull 在 1970 年代讀過《擊敗發牌員》與《擊敗市場》
- 從 25,000 美元賭資起步，1985 年成立 Hull Trading 用量化模型快速為期權定價
- 1999 年高盛以 5.31 億美元收購 Hull，發展成華爾街頂尖高頻交易部門
1987 年崩盤前的暗影#
- 1986 年基金穩健獲利
- 1987 年上半年表現亮眼，BOSS 也持續貢獻
- 隨後股市開始搖晃
- 10 月初市場已隱約裂縫
- 災難的核心：寬客與 Black–Scholes 期權定價公式
索普親手造就的兩件事，將在 1987 年迎來首次大考：
- 把賭場數學帶上華爾街，催生量化避險基金
- 啟發了一條從花粉到 Black–Scholes 的工具鏈
它們讓寬客以前所未有的精確度賺錢，也讓他們愈來愈相信模型比市場更真實。下一章將回到 1987 年 10 月 19 日「黑色星期一」前夜的芝加哥商品交易所（CME）：當時新任聯準會主席接到一通絕望的電話，揭開後來不斷重演的崩盤序章。