為何要從單因子走向多因子#
傳統的**資本資產定價模型（capital asset pricing model, CAPM）**只用單一因子（市場風險）解釋資產報酬。但實證上，多種系統性風險（如通膨、利率、企業規模、價值溢酬）都會影響報酬。
**多因子模型（multifactor models）**對風險的觀點更細緻：
- 以一組因子描述資產報酬，而非單一市場因子
- 可解釋大量風險性資產的平均報酬
- 提供更精細的風險歸因與報酬歸因
模型中通常涉及系統性因子（systematic factors）——亦即被定價的風險（priced risk）：投資人因承擔此類風險而要求額外報酬。
套利定價理論#
APT 的三個假設#
套利定價理論（arbitrage pricing theory, APT）將資產（或組合）的期望報酬表示為其對一組因子之風險敏感度的線性函數。三個關鍵假設：
- 資產報酬由**因子模型（factor model）**所描述
- 資產數量足夠多，可以消除個別資產風險
- 資產被定價使**無套利機會（no arbitrage opportunities）**存在
APT 的一般式#
$$ E(R_p) = R_F + \beta_{p,1} \lambda_1 + \beta_{p,2} \lambda_2 + \dots + \beta_{p,k} \lambda_k $$
其中：
- $R_F$：無風險利率
- $\beta_{p,j}$：組合 $p$ 對第 $j$ 個因子的敏感度
- $\lambda_j$：第 $j$ 個因子的風險溢酬
APT 與 CAPM 都描述金融市場的均衡，但 APT 對投資人偏好與市場結構的假設較少且較弱。CAPM 是 APT 的單因子特例。
多因子模型的三大類型#
總體經濟因子模型#
總體經濟因子模型（macroeconomic factor models）：因子是總體經濟變數的意外（surprise）。
- 意外 = 實際值 − 預期值（期望值為 0）
- 因子須互相無關
- 解釋管道：影響企業預期未來現金流，或影響折現率
估計流程：
- 先建立因子（意外）序列
- 再以迴歸估計各資產對因子的敏感度
基本面因子模型#
基本面因子模型（fundamental factor models）：因子是股票或公司的屬性，能解釋股價的橫斷面差異。常見因子包括：
- 帳面市值比（book-to-market）
- 市值（market capitalization）
- 本益比（price-to-earnings ratio）
- 財務槓桿（financial leverage）
估計流程（與總體模型相反）：
- 先指定因子敏感度（屬性）
- 再以迴歸估計因子報酬
在基本面模型中，因子本身是「報酬」而非意外；在總體模型中，因子是「意外」。這是兩類模型的關鍵差異。
基本面因子可細分為：
- 公司基本面因子（盈利能力、財務體質）
- 公司股票相關因子（市值、流動性）
- 總體經濟因子（產業曝險）
統計因子模型#
統計因子模型（statistical factor models）：對歷史報酬資料施以統計方法，找出能解釋報酬的投資組合。兩類：
- 因子分析模型（factor analysis）：因子是最能再現歷史報酬共變異數的組合
- 主成分模型（principal components）：因子是最能再現歷史報酬變異數的組合
統計因子的解釋通常缺乏經濟直觀；它們找到的是「有預測力的投影」，但未必對應到可命名的經濟現象。
多因子模型的應用#
報酬歸因#
將組合報酬拆解為各因子貢獻：
$$ R_p = \sum_{j=1}^{k} \beta_{p,j} F_j + \varepsilon_p $$
風險歸因#
主動報酬（active return）：組合報酬減去基準報酬。
主動風險（active risk）：主動報酬的標準差，又稱追蹤誤差（tracking error）或追蹤風險。
主動風險的平方可分解為：
$$ \text{Active risk}^2 = \text{Active factor risk} + \text{Active specific risk} $$
- 主動因子風險：對因子曝險與基準不同帶來的風險
- 主動特定風險：未由因子解釋的部分
資訊比率#
資訊比率（information ratio, IR）：
$$ IR = \frac{\overline{R_p - R_b}}{\sigma(R_p - R_b)} = \frac{\text{平均主動報酬}}{\text{主動風險}} $$
衡量每單位主動風險所帶來的主動報酬。
一支妥善追蹤指數的指數基金，其 IR 應接近 0；主動經理人才有可能透過選股或擇時取得正的 IR。
因子組合與組合建構#
因子組合（factor portfolio）：對某一因子敏感度為 1、對其他因子敏感度為 0 的組合。可作為基礎建構塊：
- 構建追蹤指數的組合
- 創建另類指數（alternative index construction）
- 對特定風險溢酬有偏好曝險
CAPM 思維下，投資人在無風險資產與廣泛分散的指數基金之間配置。多因子觀點允許投資人偏離市場組合：對自身具備比較優勢的風險增加曝險、對處於比較劣勢的風險減少曝險。
本章重點回顧#
- 多因子模型以多個系統性因子描述報酬，比 CAPM 更精細地刻畫風險
- 系統性因子代表「被定價的風險」，投資人須因承擔該風險而要求補償
- APT 的三大假設：因子模型描述報酬、可消除個別風險、無套利機會；CAPM 是 APT 的單因子特例
- 三大類多因子模型：總體經濟（因子為意外）、基本面（因子為屬性對應之報酬）、統計（因子為純資料驅動）
- 應用包括報酬歸因、風險歸因、組合建構、策略決策
- 因子組合對單一因子敏感度為 1，可作為主動配置的基礎建構塊
- 主動風險可分解為主動因子風險與主動特定風險；資訊比率衡量單位主動風險的主動報酬
- 多因子框架允許投資人依比較優勢偏離市場組合