Common Probability Distributions

為何要熟悉常見機率分布#

幾乎所有投資決策都涉及隨機變數：股票報酬、每股盈餘、利率變動皆是。要對隨機變數做出機率陳述，必須掌握其機率分布（probability distribution）——亦即各種可能結果及其機率的指定方式。

本章聚焦四個在投資分析中最常被使用的分布：

均勻分布（uniform）
二項分布（binomial）
常態分布（normal）
對數常態分布（lognormal）

這些分布出現在 Black–Scholes–Merton 期權定價、二項期權定價、資本資產定價模型等基礎模型中。本章最後介紹蒙地卡羅模擬（Monte Carlo simulation），一種建立在機率分布之上的電腦化分析工具。

離散與連續隨機變數#

兩種隨機變數的區別#

離散隨機變數（discrete random variable）：可能值至多為可數集合，例如 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 或可數無窮多個
連續隨機變數（continuous random variable）：可能值不可窮舉，例如報酬率

同一現象常可選擇離散或連續模型。例如股價在紐西蘭交易所以 NZ$0.01 為單位報價（離散），但實務上常以對數常態分布（連續）建模。選擇取決於哪種分布最適合手邊任務。

機率函數與累積分布函數#

每個隨機變數皆有一個完整描述的機率分布，可從兩個角度觀察：

機率函數（probability function）：給出特定值出現的機率
- 離散：$p(x) = P(X = x)$
- 連續：$f(x)$ 稱為機率密度函數（probability density function, PDF）
累積分布函數（cumulative distribution function, CDF）：$F(x) = P(X \leq x)$，無論離散或連續皆適用

機率函數的兩個性質：

$0 \leq p(x) \leq 1$
所有可能值的機率總和為 1

離散均勻分布#

最簡單的分布。設可能結果為 $1, 2, \dots, n$，每個結果機率皆為 $1/n$。

例如 $n=8$ 時，$p(x) = 1/8 = 0.125$。透過 CDF 可快速計算區間機率，例如 $P(4 \leq X \leq 6) = F(6) - F(3) = 3/8$。

離散均勻分布在電腦模擬中扮演關鍵角色：它是產生隨機數的基礎，再透過反轉變換法（inverse transformation）產生任意分布的隨機觀察值。

連續均勻分布的 PDF 為水平直線、CDF 為直線斜上升：

二項分布#

從柏努利試驗出發#

**柏努利隨機變數（Bernoulli random variable）**描述只有兩種結果（成功／失敗、上漲／下跌）的試驗，其中成功機率為 $p$。

二項隨機變數（binomial random variable）為 $n$ 次獨立柏努利試驗中成功的次數，前提是 $p$ 在每次試驗中皆相同。其機率函數：

$$ P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} $$

期望值與變異數#

期望值：$E(X) = np$
變異數：$\sigma^2(X) = np(1 - p)$

二項樹#

**二項樹（binomial tree）**將二項分布視覺化為資產價格的演變模型：每一期資產上漲機率為 $p$、下跌機率為 $1-p$。此模型彈性大，是期權定價的常用工具。

常態分布#

基本性質#

**常態分布（normal distribution）**為連續對稱分布，由兩個參數完全決定：

平均數 $\mu$
變異數 $\sigma^2$

記為 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

68–95–99 規則#

對常態隨機變數：

約 68% 的觀察值落在 $\mu \pm \sigma$ 範圍內
約 95% 的觀察值落在 $\mu \pm 2\sigma$ 範圍內
約 99% 的觀察值落在 $\mu \pm 3\sigma$ 範圍內

標準化與標準常態分布#

任何常態隨機變數可標準化為標準常態隨機變數（standard normal） $Z$：

$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma}, \quad Z \sim N(0, 1) $$

任何關於常態隨機變數的機率問題，都可化為查標準常態 CDF $N(z)$ 的問題。

單變量與多變量#

單變量分布（univariate distribution）：描述單一隨機變數
多變量分布（multivariate distribution）：描述一組相關隨機變數

要指定 $n$ 種資產的多變量常態分布，需要 $n$ 個平均數、$n$ 個標準差，加上 $n(n-1)/2$ 個兩兩相關係數。

Roy 的安全第一準則#

**短少風險（shortfall risk）**為投資組合價值在特定期間內跌破某最低可接受水準的風險。

Roy 安全第一準則（Roy’s safety-first criterion）：在報酬常態分布的假設下，最佳投資組合 $P$ 為最大化下列「安全第一比率」者：

$$ \text{SFRatio} = \frac{E(R_P) - R_L}{\sigma_P} $$

其中 $R_L$ 為最低可接受報酬。

SFRatio 即為 $R_L$ 的標準化距離。在常態假設下，最大化此比率等同於最小化「報酬跌破 $R_L$」的機率。

對數常態分布#

性質#

若隨機變數的自然對數服從常態分布，則該變數服從對數常態分布（lognormal distribution）。對數常態分布有兩個顯著特性：

取值下界為 0（不會出現負值）
右偏（具有長右尾）

由於價格不會為負，且報酬可能有極端正值，對數常態分布常用於模擬資產價格的機率分布。

連續複利與對數常態#

連續複利報酬（continuously compounded return）：持有期報酬 $r_t$ 對應的連續複利報酬為 $\ln(1 + r_t)$，等於 $\ln(P_t / P_{t-1})$
若連續複利報酬服從常態分布，則資產價格服從對數常態分布

由中央極限定理（central limit theorem），即使連續複利報酬本身不嚴格服從常態分布，多期累積後資產價格仍可由對數常態分布合理描述。

蒙地卡羅模擬#

概念與用途#

蒙地卡羅模擬運用電腦軟體模擬複雜金融系統的運作。其核心特徵為：從指定的機率分布抽取大量隨機樣本，以代表系統中的風險來源。

主要用途：

規劃：例如資產負債管理研究中模擬退休基金的資產與負債的演變
風險衡量：開發風險值（Value at Risk, VaR）估計
複雜證券評價：例如亞洲式選擇權、含嵌入選擇權的不動產抵押貸款證券（MBS）等沒有封閉解的證券
模型敏感度測試：檢視模型對假設的敏感程度

一般執行步驟#

指定關注的數量與其底層變數的初始值
設定時間網格（將時間切為 $K$ 個子區間）
為驅動底層變數的風險因子設定分布假設
從每個風險因子抽取 $K$ 個隨機觀察值
由隨機值計算底層變數
計算關注數量（如選擇權到期價值，再折現至今日）
重複步驟 4-6 共 $I$ 次試驗，最後依模擬結果統計推估

反轉變換法#

任意分布的隨機觀察值，皆可由均勻隨機數透過反轉變換法產生：

產生 $[0,1]$ 區間的均勻隨機數 $r$
計算 $F^{-1}(r)$，即為目標分布的隨機觀察值

蒙地卡羅模擬與解析方法是互補關係：解析解（如 Black–Scholes 公式）提供精確的敏感度洞見；蒙地卡羅則處理沒有解析解的情形，但只能給出統計估計而非精確值。

本章重點回顧#

機率分布完整描述隨機變數的可能結果及其機率；分為離散與連續兩類
機率函數 $p(x)$ 或 $f(x)$ 給出特定值的機率；CDF $F(x)$ 給出 $P(X \leq x)$
離散均勻、二項、常態與對數常態為投資分析最常用的四種分布
二項分布描述 $n$ 次獨立柏努利試驗的成功次數，均數為 $np$、變異數為 $np(1-p)$
常態分布由 $\mu$ 與 $\sigma^2$ 完全描述；68–95–99 規則便於快速估計區間機率
投資組合的常態化需要均數、標準差與所有兩兩相關係數
Roy 安全第一準則以 $[E(R_P) - R_L]/\sigma_P$ 為評估標準
對數常態分布下界為 0、右偏，常用於模擬資產價格；連續複利報酬服從常態時，價格服從對數常態
蒙地卡羅模擬以大量隨機樣本模擬風險系統，用於規劃、風險管理與複雜證券評價，是解析方法的補充而非替代