Probability Concepts

為何投資分析離不開機率#

所有投資決策都在風險環境中進行。**機率（probability）**是讓我們在不確定情境中能夠一致而有邏輯地決策的工具基礎。本章聚焦在最常用於投資實務的機率概念，例如：

預測投資經理人未來績效
預測財金變數
評價債券，使違約風險獲得合理補償
計算投資組合的期望報酬與變異數

兩個分析師最關注的核心概念：

獨立性（independence）：與報酬可預測性密切相關
期望（expectation）：分析師永遠在朝未來看

隨機變數、事件與機率#

**隨機變數（random variable）**是其取值不確定的數量；風險資產的報酬即為一例。

**事件（event）**是隨機變數的一組指定結果。事件可以是單一結果（例如「報酬恰為 10%」），也可以是一組結果（例如「報酬低於 10%」）。常用大寫斜體字母表示，如 $A$、$B$。

機率是介於 0 與 1 之間的數字，衡量某事件發生的可能性。其兩條定義性性質為：

對於任何事件 $E$，$0 \leq P(E) \leq 1$
任一組**互斥（mutually exclusive）且互蓋（exhaustive）**事件之機率和等於 1

互斥指事件不能同時發生；互蓋指事件涵蓋所有可能結果。

三種機率估計方式#

經驗機率（empirical probability）：以歷史資料的相對頻率估計，例如「樣本中泰國上市公司有 1,382/1,927 ≈ 0.72 為配息公司」
主觀機率（subjective probability）：依個人或專業判斷估計，在投資實務中無所不在
先驗機率（a priori probability）：以邏輯推理而非觀察得出，例如公平骰子各面為 1/6

經驗與先驗機率合稱客觀機率（objective probability）。

賠率與機率#

機率亦可以**賠率（odds）**形式表達：

賠率支持 E：$P(E)/[1-P(E)]$；若賠率為「a 比 b」，隱含 $P(E) = a/(a+b)$
賠率反對 E：$[1-P(E)]/P(E)$；若賠率為「a 比 b」，隱含 $P(E) = b/(a+b)$

若市場價格反映的機率彼此矛盾（如同一事件，A 股反映 0.85、B 股反映 0.50），即存在套利機會，這正是**荷蘭書定理（Dutch Book Theorem）**的核心觀念。

條件機率、聯合機率與獨立性#

機率的種類#

非條件機率（unconditional probability）：又稱邊際機率（marginal probability），記為 $P(A)$
條件機率（conditional probability）：在事件 $B$ 已發生下事件 $A$ 的機率，記為 $P(A \mid B)$
聯合機率（joint probability）：$A$ 與 $B$ 同時發生的機率，記為 $P(AB)$

三者之間的關係：

$$ P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0 $$

加法與乘法法則#

乘法法則：$P(AB) = P(A \mid B) \cdot P(B)$
加法法則：$P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

獨立事件#

若 $A$ 的發生不影響 $B$ 的發生機率（反之亦然），稱兩事件獨立（independent）；否則為相依（dependent）。對於獨立事件：

$$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) $$

可推廣至多事件。

全機率法則#

若 $S_1, S_2, \dots, S_n$ 為一組互斥且互蓋的情境：

$$ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid S_i) \cdot P(S_i) $$

同樣的法則也適用於期望值：

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X \mid S_i) \cdot P(S_i) $$

期望值與變異數#

期望值#

隨機變數 $X$ 的期望值（expected value） $E(X)$，是其所有可能結果的機率加權平均。其性質包括：

$E(wX) = w \cdot E(X)$（$w$ 為常數）
$E\left(\sum_i w_i X_i\right) = \sum_i w_i \cdot E(X_i)$（線性性）

可透過**機率樹狀圖（probability tree）**將條件機率與結果視覺化，特別適合多階段的不確定情境：

變異數與標準差#

變異數是離均差平方的期望值，是衡量分散程度與風險的量度：

$$ \sigma^2(X) = E\left{[X - E(X)]^2\right} $$

**標準差（standard deviation）**為變異數的正平方根，與原始變數同單位。

共變異數、相關係數與投資組合#

共變異數#

兩個隨機變數 $R_i$、$R_j$ 的**共變異數（covariance）**衡量其共同變動：

$$ \text{Cov}(R_i, R_j) = E\left{[R_i - E(R_i)] \cdot [R_j - E(R_j)]\right} $$

特性：

隨機變數與自身的共變異數即為其變異數
正號表示同向變動，負號表示反向變動
單位為原始變數平方，數值大小本身不易解讀

投資組合的期望報酬#

$n$ 種資產組合的權重為 $w_1, w_2, \dots, w_n$（總和為 1）。組合報酬 $R_p = \sum_i w_i R_i$，其期望報酬為個別期望報酬的加權平均：

$$ E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot E(R_i) $$

投資組合的變異數#

組合報酬的變異數需要 $n$ 個變異數加上 $n(n-1)/2$ 個共變異數：

$$ \sigma^2(R_p) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \cdot \text{Cov}(R_i, R_j) $$

投資組合風險不僅取決於個別資產的變異數，更關鍵的是資產間的共變異數。只要相關係數小於 1，組合就能透過分散降低風險——這是現代投資組合理論的核心洞見。

貝氏公式#

貝氏公式（Bayes’ formula）提供一套根據新資訊更新機率的程序：

$$ P(E \mid I) = \frac{P(I \mid E)}{P(I)} \cdot P(E) $$

文字敘述為：

「事件的更新後機率 = （新資訊在事件下的機率 / 新資訊的非條件機率）× 事件的事前機率」

貝氏公式在期權定價、信用分析、機器學習等領域皆有廣泛應用。

計算結果數的方法#

乘法計數法則#

若第一步可有 10 種方式，第二步給定第一步後可有 5 種方式，第三步給定前兩步後可有 7 種方式，則整體流程有 $10 \times 5 \times 7 = 350$ 種方式。

排列、組合與多項式#

階乘（factorial）：$n$ 個成員指派到 $n$ 個位置的方式為 $n!$（定義 $0! = 1$）
多項式公式（multinomial formula）：將 $n$ 個物件貼上 $k$ 種標籤（各 $n_1, n_2, \dots, n_k$ 個）的方式為

$$ \frac{n!}{n_1! , n_2! \cdots n_k!} $$

組合公式（combination formula）：從 $n$ 中選 $r$ 個，不計順序

$$ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! , (n-r)!} $$

排列公式（permutation formula）：從 $n$ 中選 $r$ 個，計順序

$$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

本章重點回顧#

隨機變數、事件與機率三概念是討論不確定性的基礎；機率必須介於 0 與 1，且互斥且互蓋事件的機率和為 1
機率有經驗、主觀、先驗三種估計方式；不一致的機率可創造套利機會（荷蘭書定理）
條件、聯合、邊際機率透過 $P(A \mid B) = P(AB)/P(B)$ 相互連結；加法、乘法法則與全機率法則是運算基石
期望值具有線性性；變異數衡量分散，共變異數衡量共動，相關係數則是其標準化形式
投資組合的期望報酬為加權平均，但變異數的計算同時依賴個別變異數與所有共變異數
貝氏公式是更新信念以反映新資訊的工具
排列、組合與多項式提供計算可能結果數的方法，是先驗機率計算的基礎