本章作者：Roger G. Clarke（PhD）、Harindra de Silva（PhD, CFA）、Steven Thorley（PhD, CFA）

學習目標#

讀完本章後，應能：

  • 描述如何衡量主動管理創造的價值
  • 計算並解釋資訊比率（information ratio）的事前（ex ante）與事後（ex post）版本，並對比夏普比率（Sharpe ratio）
  • 闡述主動管理基本法則（fundamental law of active management）及其組成 — 轉換係數（transfer coefficient）、資訊係數（information coefficient）、廣度（breadth）、主動風險（active risk）
  • 說明資訊比率如何協助投資人選擇經理人與主動風險水準
  • 比較市場時機與選股策略，並從基本法則的角度評估策略改變
  • 描述基本法則的實務優勢與限制

主動管理與創造價值#

主動管理的目標是勝過被動基準：

  • 創造的價值（value added）= 主動組合報酬 − 基準組合報酬，可正可負
  • 若扣除費用後仍負，投資人不如直接持有基準
  • 例：MSCI ACWI、Bloomberg Barclays Global Aggregate Bond 等指數常作為基準

基準的基本條件#

  • 能代表投資人的選股池
  • 成分可以低成本複製
  • 權重可事前驗證、報酬可事後即時取得

當基準採用市值加權且涵蓋整個市場時，主動管理為零和遊戲（zero-sum game）— 全部主動投資人合計報酬必然等於市場。但若基準僅涵蓋部分市場，則因可從基準外挑股，並非完全零和。

主動權重與創造價值的數學表達#

定義主動權重：

$$\Delta w_i = w_{P,i} - w_{B,i}$$

主動報酬可寫成主動權重與報酬的乘積和：

$$R_A = \sum_{i=1}^{N} \Delta w_i \cdot R_i = \sum_{i=1}^{N} \Delta w_i \cdot R_{Ai}$$

其中 $R_{Ai} = R_i - R_B$。

正向 value added 來自「對報酬高於基準的證券超配，對報酬低於基準的證券低配」。

價值分解：資產配置 vs. 選股#

實務上常將 value added 拆解為兩個來源：

  • 資產配置決策：偏離長期政策權重（如 60/40）的部分
  • 選股決策：在每個資產類別內部相對基準的選擇

簡單範例：60/40 政策、實際 70/30，股票回報 14%、債券 2%

  • value added = 0.10 × (14 − 9.2) − 0.10 × (2 − 9.2) = 0.5% + 0.7% = 1.2%

衡量風險與報酬#

夏普比率（Sharpe Ratio）#

$$SR_P = \frac{R_P - R_F}{\sigma_P}$$

特點：

  • 反映絕對的風險調整後超額報酬
  • 不受加減現金或槓桿影響（兩基金分離定理 two-fund separation）：投資人可用現金降低風險，或用槓桿提升風險，夏普比率不變

資訊比率（Information Ratio）#

$$IR = \frac{R_P - R_B}{\sigma(R_P - R_B)}$$

  • 反映相對於基準的風險調整後表現
  • 分母稱為主動風險（active risk）或追蹤誤差
  • 衡量「創造價值的一致性」，主動報酬大且穩定者 IR 高

兩個比率的差異#

場景Sharpe 是否變動IR 是否變動
加入現金不變通常下降
加大槓桿不變不變（不變動主動權重比例時）
等比例放大主動權重略升不變

「掩飾型指數基金（closet index fund）」雖然 Sharpe 與基準接近，但主動風險小、IR 多半為零或微負；可以**主動份額（active share）**這項指標檢測。

最佳化組合：以 IR 為核心準則#

主動組合與基準的關係：

$$SR_P^2 = SR_B^2 + IR^2$$

事前資訊比率（expected IR）是評估主動經理人的最佳單一標準。同一基準下選 IR 最高者，可使整體 Sharpe 最大化。

最佳主動風險水準（無約束）：

$$\sigma_A^* = \frac{IR}{SR_B} \cdot \sigma_B$$

例：IR = 0.30、SR_B = 0.40、σ_B = 16% → 最佳主動風險 = 12.0%；對應 Sharpe = $\sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5$。

Exhibit 4: 投資組合風險與報酬

Exhibit 5: 投資組合的主動風險與報酬

主動管理基本法則#

相關性三角#

基本法則的三個角為：

  • 預測主動報酬 $\mu_i$
  • 主動權重 $\Delta w_i$
  • 實現主動報酬 $R_{Ai}$

三角的邊代表三項相關性：

  • 資訊係數 IC：$\rho(\mu_i, R_{Ai})$ — 預測準確度
  • 轉換係數 TC：$\rho(\Delta w_i, \mu_i)$ — 預測轉換為持倉的程度
  • 價值創造：$\rho(\Delta w_i, R_{Ai})$ — 持倉與實現報酬的關係

Exhibit 6: 相關性三角

Grinold 規則#

$$\mu_i = IC \cdot \sigma_i \cdot S_i$$

其中 $S_i$ 是橫斷面標準差為 1 的「分數（score）」。

最佳主動權重（無約束）#

$$\Delta w_i^* = \frac{\mu_i}{\sigma_i^2} \cdot \frac{\sigma_A}{\sqrt{BR}}$$

直覺解讀：

  • 預測報酬越高，主動權重越大
  • 預測波動度越高，主動權重越小
  • 整體主動風險越大，個別主動權重越大

基本法則（無約束版）#

$$E(R_A)^* = IC \cdot \sqrt{BR} \cdot \sigma_A$$

或以資訊比率表達：

$$IR^* = IC \cdot \sqrt{BR}$$

  • IC（資訊係數）：投資人預測能力，多落於 0.05–0.20
  • BR（廣度）：每年獨立決策數量；若資產報酬完全獨立，BR = 證券數

擴充版（含約束）#

$$E(R_A) = TC \cdot IC \cdot \sqrt{BR} \cdot \sigma_A$$

$$IR = TC \cdot IC \cdot \sqrt{BR}$$

  • TC（轉換係數）：實際主動權重與最佳權重的相關度
  • 實務上 TC 介於 0.20–0.90；長空限制、週轉限制、ESG 篩選等都會壓低 TC
  • TC = 1 表示完全無約束

無約束 IR 與主動風險無關，但約束組合的 IR 通常會隨主動風險上升而下降。原因是更大膽的策略更容易觸及約束邊界，使 TC 進一步下降。

含約束的最佳主動風險#

$$\sigma_A^* = TC \cdot \frac{IR^*}{SR_B} \cdot \sigma_B$$

最大化的 Sharpe：

$$SR_P^2 = SR_B^2 + TC^2 \cdot IR^{*2}$$

事後表現分解#

實現的 value added 可分為兩部分：

$$R_A = TC \cdot IC_R \cdot \sqrt{BR} \cdot \sigma_A + \text{noise}$$

事後變異中：

  • $TC^2$ 比例來自預測能力的變動
  • $1 - TC^2$ 比例來自約束所引發的雜訊

在 TC = 0.60 的組合中，僅 36% 的績效變異可歸因於預測能力。低 TC 投資人會經常出現「預測對但表現差」或「預測錯但表現好」的狀況。

基本法則的應用#

全球股票策略#

以 MSCI ACWI 為基準，24 個個別市場為投資宇宙：

  • 投資人以 −2、−1、0、+1、+2 分數標示各市場相對展望
  • 由最佳化器在主動風險 = 2.00% 限制下決定主動權重
  • 無約束版本 TC ≈ 0.995，IR ≈ 0.49
  • 同樣分數但加入「只能做多」與「主動權重 ≤ 10%」約束後，TC 降至 0.694、IR 降至 0.34
  • 進一步把主動風險目標上調至 3% 時，更多權重碰到約束邊界，TC 降至 0.567、IR 降至 0.28

固定收益：時間序列應用#

例 1：投資級債（IG）vs. 高收益債（HY），每季決定相對配置

  • IG 報酬波動度 2.84%、HY 為 4.64%，相關性 0.575
  • 主動風險（單季）= 3.80% → 年化 7.60%
  • 若每季預測準確率 55%（11/20），時間序列 IC = 0.55 − 0.45 = 0.10
  • BR = 4（4 個季度的獨立決策）→ 年化 IR = 0.10 × √4 = 0.20

市場時機（market timing）策略的核心難題：BR 太低。即使 IC 達 0.10，每年 4 次決策也只能產生 0.20 的 IR。要提高 IR，必須增加 BR（更頻繁的真實獨立決策）或提升 IC。

廣度的近似公式#

$$BR \approx \frac{N}{1 + (N-1) \rho}$$

  • $\rho$ 為主動報酬間的平均相關性
  • 同產業／同期間相關 → BR < N
  • 套利對沖等負相關策略 → BR > N

例：兩證券、$\rho = -0.8$ → BR = 10，即使只有兩檔證券也能有很高的 IR。

實務限制#

預測能力的不確定性#

實際資訊係數會隨時間變化。Qian 與 Hua（2004）加入「策略風險（strategy risk）」修正：

$$\sigma_A = \sqrt{\sigma_{RM}^2 \cdot \sigma_{IC}^2 + (\text{其他項})}$$

修正後實際 IR 大約是原始法則的 45–91%。

決策獨立性#

  • 橫斷面：同產業／同因子的股票報酬相關 → 並非 N 個獨立決策
  • 時間序列：因子變化緩慢，月份間決策可能高度相關
  • 固定收益：所有債券都帶有共同存續期、信用、選擇權風險，難以完全去相關
  • 再平衡頻率：增加頻率僅在「決策真正獨立」時提升 BR

其他限制#

  • 忽略交易成本與稅
  • 多期動態最佳化的處理仍待發展
  • 平均–變異最佳化本身的所有假設（常態分配、風險厭惡係數等）皆繼承

本章小結#

  • 主動管理的目標是創造相對基準的 value added；事前必須為正才合理
  • 主動權重是 value added 的核心驅動：超配未來上漲、低配未來下跌
  • 夏普比率衡量絕對的風險調整後報酬；資訊比率衡量相對的；兩者不可混用
  • $SR_P^2 = SR_B^2 + IR^2$；IR 是評選主動經理人的最佳單一指標
  • 基本法則：$E(R_A) = TC \cdot IC \cdot \sqrt{BR} \cdot \sigma_A$
  • TC 反映約束、IC 反映預測能力、BR 反映獨立決策數量
  • 約束組合 IR 會隨主動風險上升而下降；無約束組合的 IR 與主動風險無關
  • 實務修正：策略風險（IC 不確定性）、橫斷面／時間序列相依性會壓低真實 IR
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