本書多數篇幅聚焦於折現現金流與相對評價。儘管它們廣受歡迎，兩者有一個共同主題：資產的風險被壓縮進一個數字裡——較高的折現率、較低的現金流，或對價值的折價——而這個計算幾乎必然要求我們對風險的性質做出（往往不切實際的）假設。

本章考慮一種不同、也可能提供更多資訊的評價方式：與其算出一個「試圖用單一數字捕捉所有可能結果」的期望值，我們可以提供「在每一個結果（或至少一部分結果）下資產價值是多少」的資訊。

• 情境分析：從最簡單的三情境（最佳、最可能、最差）開始，再延伸到一般化的情境分析
• 決策樹：處理「序列型風險」更完整的方法
• 蒙地卡羅模擬：跨整個風險光譜最完整的評估方式

情境分析#

評價風險資產所用的預期現金流有兩種估法：所有可能情境下現金流的機率加權平均，或最可能情境下的現金流。前者較精確，但因為需要遠更多的資訊而鮮少被使用。兩種情況下，都存在「現金流與預期不同」的其他情境——有些高於預期、有些低於預期。

在情境分析中，我們估計各種情境下的預期現金流與資產價值，目的是更好地感受風險對價值的影響。

最佳／最差情境#

在極限上，我們可以估計「一切都完美運作」（最佳情境）與「一切都不順」（最差情境）下的現金流。 實務上有兩種建構方式：

• 把每一個輸入都設為其最佳（或最差）的可能結果：例如評價公司時，把營收成長率與營業利益率設在最高、折現率設在最低，算出最佳情境的價值。問題是這可能根本不可行——要達到高營收成長，公司可能必須降價、接受較低的利潤率
• 依「可行性」定義最佳情境，並容許輸入之間的關係：不假設營收成長與利潤率同時最大化，而是選出「可行且產生最大價值」的成長與利潤率組合。這較符合現實，但實作上需要更多工夫

• 最佳與最差情境價值之差，可以作為資產風險的衡量——風險越高的投資，價值區間（相對規模標準化後）應該越大
• 擔心某項投資出問題會外溢到整體投資組合的投資人，可以透過檢視該投資的最差情境結果來衡量影響

用這個方法評價一檔股價 $50 的股票，可能得出最佳情境 $80、最差情境 $10——區間這麼大，很難判斷這檔股票是不是好投資。

多情境分析#

一般形式的情境分析，可以在多種情境下計算風險資產的價值，同時變動總體與資產專屬變數的假設。四個關鍵組成：

• 決定情境要圍繞哪些因素建構：從汽車公司考慮建新廠時的「經濟狀態」，到消費品公司推出新產品時的「競爭者反應」，到受管制公司考慮新產品或服務時的「主管機關行為」。一般而言，你應該聚焦於決定資產價值的兩三個最關鍵因素，並圍繞它們建構情境
• 決定每個因素要分析幾個情境：情境越多或許越貼近現實，但蒐集資訊與區分各情境下的現金流也越困難。列五個情境比列十五個情境容易估計。該考慮幾個情境，取決於情境之間的差異有多大，以及你能多好地預測各情境下的現金流
• 估計每個情境下的現金流、折現率與價值：正是為了讓這一步容易些，才只聚焦兩三個關鍵因素、每個因素建構相對少的情境
• 為每個情境指定機率：涉及匯率、利率、整體經濟成長等總體因素的情境，可以借助專門預測這些變數的服務；涉及產業或競爭者的情境，就要靠你對該產業的知識。注意：只有在情境涵蓋了完整的可能性光譜時，這才說得通——若情境只代表可能結果的一個子集，機率就不會加總為 1

最有價值的資訊是「跨情境的價值區間」，它提供了資產風險的快照——風險越高的資產，跨情境的價值變異越大；越安全的資產則越穩定。

此外，情境分析有助於判斷「哪些輸入對價值影響最大」。還有一個好處：就價值在某些情境下遠低於其他情境而言，投資人可以設法對這些情境進行避險。

退一萬步說，思考各種情境的過程，本身就是一個有用的練習——檢視競爭者在不同總體環境下會如何反應，以及可以做什麼來最小化下檔風險、最大化潛在上檔對價值的影響。

• 垃圾進、垃圾出：關鍵在於情境的設定與各情境下現金流的估計。列出的情境不只要符合現實，還要試圖涵蓋整個可能性光譜
• 連續性風險：情境分析最適合處理「離散結果」的風險。當結果可以取極大量的潛在值、或風險是連續的，就更難設定情境
• 重複計算風險：與最佳／最差情境分析一樣，決策者可能在情境分析中重複計算風險。例如分析師可能因為「至少在一個情境下該股顯著高估」而拒絕它——即使它看起來被低估。由於期望值已經過風險調整，這就是把（可能相同的）風險算了兩次，或把「本來就不該影響決策的風險」（因為它可以被分散掉）納入了決策

再投資率 = 3% / 20% = 15%
繼續經營下的營運資產價值 = 10 × (1 − 0.15) / (0.12 − 0.03) = $9,444 萬

國有化下的營運資產價值 = 帳面價值 = $5,000 萬

期望值 = 94.44 × 0.75 + 50 × 0.25 = $8,333 萬

股權價值 = 帳面權益 × ROE × (1 − g/ROE) / (股權資金成本 − g)

決策樹#

有些情況下，風險不只是離散的，還是「序列」的——資產要有價值，就必須通過一系列考驗，任何一關失敗都可能導致價值完全損失。

正在測試商業化用途的藥物就是如此：FDA 的三階段核准流程列出了必須通過的關卡，任一階段失敗都會斷送這個藥的機會。 評價一家藥物組合龐大的大型藥廠時，「某個藥過不了關」的風險會在管線的藥物組合中被平均掉，因此可以用傳統 DCF 模型；相對地，若你評價的是只有一個藥在核准流程中的小型生技公司，其價值就完全建立在這個序列風險過程上。

四種節點#

簡單例子：你可以選擇「拿確定的 $20」，或參與一個賭局（50% 機率贏 $50、50% 機率贏 $10）。只有事件節點代表不確定結果並附有機率；決策節點代表選擇。 純以期望值計，賭局（期望值 $30）優於確定的 $20。

五個步驟#

1. 把分析拆成風險階段：關鍵是勾勒出未來會暴露的風險階段。FDA 流程容易做（只有兩個結果——通過或不通過）；其他情況則較難（新消費品的試銷可能產生數百種結果，此時必須為試銷的成功程度建立離散的類別）
2. 估計各階段各結果的機率：除了「各結果的機率必須加總為 1」這個明顯要求外，還必須考慮「某階段各結果的機率會不會受更早階段結果的影響」——例如當試銷結果只是平平時，全國推出成功的機率如何改變？
3. 定義決策點：決策樹中會內嵌決策點，讓你依「觀察到的較早階段結果」與「對未來的預期」決定最佳行動路線。以試銷為例，試銷結束時你可以決定：再做一次試銷、放棄產品，或直接進行全國推出
4. 計算末端節點的現金流／價值：有些容易（例如放棄試銷產品，就是花在試銷上的錢）；有些較難（例如同一產品的全國推出，必須估計產品生命期的預期現金流並折現）
5. 向後折疊決策樹（folding back）：從後往前計算期望值——機會節點的期望值是所有可能結果的機率加權平均；決策節點則為每個分支計算期望值，並選擇最高者（作為最適決策）。這個過程最終得出資產或投資今日的期望值

• 今日走完整棵決策樹的期望值——它已納入風險的潛在上檔與下檔，以及你沿途對風險所採取的行動。實質上這相當於風險調整後的價值
• 末端節點的價值區間——它應該涵蓋了投資的潛在風險

範例 33.3：決策樹評價——一家年輕製藥公司

評價一家只有一項產品的小型生技公司：一種治療第一型糖尿病的藥物，已通過臨床前測試、即將進入 FDA 核准流程的第一階段。

三個階段：

1. 第一階段：預期成本 $5,000 萬，100 名志願者測定安全性與劑量，為期一年。成功機率 70%
2. 第二階段：250 名志願者、兩年期間測試治療糖尿病的有效性，成本 $1 億。30% 機率成功治療第一型糖尿病；10% 機率同時成功治療第一與第二型；10% 機率只成功治療第二型
3. 第三階段：擴大到 4,000 名志願者以確認長期後果。若只針對一型測試，為期四年、成本 $2.5 億，成功機率 80%；若針對兩型測試，為期四年、成本 $3 億，成功機率 75%

通過三階段後的開發成本與現金流：

治療對象	開發成本	年現金流
僅第一型	$5 億	$3 億（15 年）
僅第二型	$5 億	$1.25 億（15 年）
第一與第二型	$6 億	$4 億（15 年）

資金成本 10%。（第三階段後的開發現金流現值要再多折現七年，以反映走完三階段所需的時間。）

向後折疊後：這個藥今日的期望值為 $5,036 萬。 由於這是該生技公司唯一的產品，在「公司沒有開發新產品能力」的假設下，這也是公司的價值。

這個價值反映了所有可能隨時間展開的情況，並顯示出每個決策分支上「不是最適、因而應該被拒絕」的選項。 決策樹也提供了結果的區間：最差是第三階段以「同時治療兩型」失敗（今日美元 −$3.663 億），最佳是核准並開發為兩型糖尿病的治療藥（今日美元 $8.8705 億）。

因為在流程後期放棄這個藥的替代方案，淨現值更負（−$3.2874 億）。

另一種看法是看「只為第二型開發」的邊際效果：一旦公司已投入資源走完三階段測試，測試成本就成了沉沒成本，不再是決策的因素。第三階段後開發的邊際現金流有正的淨現值 $4.51 億（以第 7 年現金流計）：

第 7 年開發第二型治療藥的現值 = −500 + 125 × (15 年年金現值因子, 10%) = $4.51 億

用於決策的三個效益#

• 對風險的動態回應：把行動與選擇連結到不確定事件的結果，決策樹促使你思考在不同情況下該如何行動。因此你會為任何可能出現的結果做好準備，而不是被它嚇到
• 資訊的價值：決策樹提供了「資訊在決策中的價值」的有用視角。這在「商業化開發前是否先做試銷」的例子中尤其清楚——試銷讓你取得關於最終成功機率的更多資訊，你可以在決策樹中衡量這份改良資訊的期望價值，並與試銷成本比較
• 風險管理：由於決策樹描繪了現金流隨時間展開的圖像，它有助於決定「該對哪些風險提供保護」與「這麼做的效益」。例如某資產的決策樹中，最差情境在美元對歐元疲弱時展開——由於你可以對這個風險避險，避險成本就可以與最差情境下的現金流損失比較

• 決策樹最適合序列型風險（FDA 分階段核准流程是好例子）；同時影響資產的並行風險，很難用決策樹建模（若要建模，這些風險必須彼此獨立——換言之，順序不該有影響）
• 與情境分析一樣，決策樹一般以離散結果看風險。多數其他風險的結果範圍寬廣得多，你必須為結果建立離散的類別才能留在決策樹架構內（例如試銷賣出超過 10 萬單位為大成功、6 萬至 10 萬為平均、低於 6 萬為失敗）
• 即使風險是序列的且可歸入離散箱子，你仍面臨沒有簡單答案的估計問題——必須估計每個結果下的現金流與相應機率。優勢在於：關於「進入各階段的藥物有多少比例晉級」以及「藥物測試的歷史成本」，你可以借助實證資料。但不同第一階段藥物的成功機率差異很大（有些比別的更遠射），誤差仍可能滲入決策樹
• 決策樹的期望值高度倚賴「你會在樹上的決策點保持紀律」這個假設。 若最適決策是「試銷失敗就放棄」、期望值也是據此計算的，那麼一旦你決定忽視試銷失敗、硬是全面推出產品，整個流程的完整性與期望值就會迅速瓦解

決策樹是風險調整價值的替代品嗎？#

有些分析師相信決策樹「因為納入了好壞結果的可能性，本身就已經風險調整過了」，進而主張決策樹中用來算現值的正確折現率是無風險利率——他們說用風險調整折現率會重複計算風險。除少數例外情況，這個推理是錯的。

期望值不是風險調整的。 用「可能結果與其機率」估出的機率加權期望值並未經過風險調整。唯一能為「使用無風險利率」提出的理由是：內嵌在不確定結果中的風險是資產專屬的、會被分散掉——此時風險調整折現率就是無風險利率。以 FDA 藥物開發為例，這或許可以解釋為什麼你會用無風險利率折現前七年的現金流（那段期間唯一的風險是藥物核准風險）；第 7 年之後，風險就可能含有市場成分，風險調整率會高於無風險利率。

創投的定價是常見的例子：第 23 章提過，創投常以「未來的預估盈餘與盈餘倍數」估出退出價值，再用目標報酬率折現。例如一家目前虧損但預期五年後賺 $1,000 萬的公司（屆時上市的盈餘倍數估為 40），以 35% 的目標報酬率計算：

五年後公司價值 = 10 × 40 = $4 億
今日公司價值 = 400 / (1.35)^5 = $8,920 萬

但目標報酬率之所以設得這麼高（35%），正是因為這家年輕公司可能無法存活。 事實上，你可以把它框成一個簡單的決策樹。假設依創投在這筆創投上所面對的事業風險，正確的折現率是 15%，可以反解出創投價值估計中隱含的成功機率：

$8,920 萬 = ($4 億 / 1.15^5) × p  →  p = 44.85%

把這個機率放進決策樹，並使用正確的折現率，你會得到與創投相同的價值。 若在決策樹中用 35% 的目標報酬率作為折現率，會得到低得多的價值，因為風險被算了兩次。

同樣的推理可以看出：在決策樹中用高折現率評估生技藥物會低估該藥的價值——尤其當折現率已經反映了「該藥可能無法進入商業生產」的機率時。若核准流程的風險是藥物特有的、因而可分散，那就意味著決策樹分析中的折現率應該適中，即使產品在早期階段過不了關的可能性很高。

若決策樹中該用的折現率反映的是向前看的事業風險，那麼決策樹的不同位置使用不同折現率不只可能、而且很可能。

例如試銷階段的非凡成功，可能帶來比「平均試銷結果」更可預測的現金流——這會讓你用較低的折現率評價前者、較高的折現率評價後者。 在藥物開發的例子中，若該藥對兩型糖尿病都有效，其預期現金流可能比只對一型有效更穩定；因此第一組現金流用 8% 的折現率、第二組用 12% 可能更恰當。

總結：決策樹不是風險調整評價的替代品，而是「處理離散風險」的另一種方式——那些難以納入預期現金流或風險調整折現率的離散風險。

模擬#

若情境分析與決策樹是幫助我們評估「離散風險」效果的技術，模擬則提供了檢視「連續風險」後果的方式。 就現實世界中多數風險可以產生數百種可能結果而言，模擬會給我們一幅更完整的資產或投資風險圖像。

四個步驟#

1. 決定機率性變數

任何分析都有數十個輸入，有些可預測、有些不可。與情境分析和決策樹（變動的變數與潛在結果的數量必須很少）不同，模擬對「可以讓多少變數變動」沒有限制。 至少理論上，你可以為評價中的每一個輸入定義機率分配。

2. 為這些變數定義機率分配（這是關鍵、也是最困難的一步）

三種作法：

• 實務上很少有輸入符合統計分配嚴格的要求。例如營收成長率不可能真的是常態分配，因為它的最低值是 −100%。因此你必須將就使用「夠接近真實分配、使所產生的誤差不會摧毀你的結論」的統計分配
• 選定分配後，參數仍需估計。你可以借助歷史或橫斷面資料——例如營收成長率可以看過去幾年的營收成長、或同業公司之間的營收成長率差異。但「結構性移轉使歷史資料不可靠」與「同業公司並非真正可比」的警告依然適用

3. 檢查變數之間的相關性

例如你同時為利率與通膨建立機率分配。兩者對決定價值或許都很關鍵，但它們可能彼此相關——高通膨通常伴隨高利率。

有強相關（正或負）時有兩個選擇：

• 建立一個捕捉相關變數的複合輸入（利率與通膨的例子中，實質利率可能就是要模擬的變數）
• 把相關性明確建進模擬（這需要更精密的模擬軟體，也讓估計過程增添細節）

4. 跑模擬

第一次模擬時，從每個分配抽取一個結果並據此算出價值；這個過程可以重複想要的次數，雖然每次模擬的邊際貢獻會隨次數增加而遞減。 所需次數取決於：

• 機率性輸入的數量：附有機率分配的輸入越多，所需模擬次數越多
• 機率分配的特性：分析中分配的多樣性越高，所需模擬次數越多。全部輸入都是常態分配的模擬，所需次數少於「有些常態、有些基於歷史資料分配、有些離散」的模擬
• 結果的範圍：每個輸入的潛在結果範圍越大，所需模擬次數越多

範例 33.4：Exxon Mobil 的蒙地卡羅模擬

第 22 章評價過 2009 年的 Exxon Mobil。1985–2008 年營業利益對平均油價的迴歸：

營業利益 = −6,395 + 911.32 × 平均油價     R² = 90.2%
           (2.950)  (14.59)

油價每桶漲 $10，Exxon 營業利益增加約 $91.1 億；Exxon 盈餘長期變異的 90% 來自油價變動。

第 22 章的評價：股權資金成本 8.35%、資金成本 8.18%、穩定成長 2%。2009 年 3 月油價已跌到 $45：

正常化營業利益 = −6,395 + 911.32 × 45 = $34,614M
ROIC ≈ 21%、再投資率 = 2% / 21% = 9.52%
營運資產價值 = $320,472M
每股價值 = (320,472 + 32,007 − 9,400) / 4,941.63 = $69.43

當時股價 $64.83，該股看似略微低估。但那反映了「當前油價（$45）就是正常化價格」的假設。既然每股價值如此依賴油價，讓油價變動、把公司價值表達為油價的函數更合理——模擬可以充實這些數字：

步驟 1：決定油價的機率分配——用經通膨調整的歷史油價資料，同時定義分配與估計參數。油價可以從最低約每桶 $8 變動到超過 $120。這裡用當前價格 $45 作為分配的平均值，但你也可以透過選擇較高或較低的平均值，把自己對油價的看法放進分配裡。（作法是用三十年經通膨調整的歷史油價建立經驗分配，再選一個最貼合的統計分配——對數常態——並選擇最接近歷史資料的參數值。）

步驟 2：把營運結果連結到商品價格——用前述迴歸式。（這個迴歸法對 Exxon 效果好，但對較小、較波動的商品公司可能不然。）

步驟 3：把價值估計為營運結果的函數——營業利益改變時，公司價值在兩個層次受影響：其一，其他條件相同時較低的營業利益降低自由現金流、降低價值；其二，在投入資本固定下重算資本報酬率——營業利益下降時資本報酬率下降，公司必須再投資更多才能維持 2% 的穩定成長率。（本例中資金成本與成長率保持固定。）

步驟 4：建立價值的分配——跑 10,000 次模擬。

換言之，這個方法不只產出公司的每股價值，還產出「該公司真的被低估」的可能性（低於 50%）——這個資訊可以餵進投資決策。

用於決策#

一個做得好的模擬提供的不只是資產或投資的期望值：

• 更好的輸入估計：在理想的模擬中，分析師會在判斷「用什麼分配、參數是多少」之前，同時檢視每個輸入變數的歷史與橫斷面資料。在這個過程中，他們或許能避免使用點估計所伴隨的草率——許多 DCF 評價建立在從經理人或分析師處取得、往往毫無事實根據的預期成長率上
• 它產出的是「期望價值的分配」而非一個點估計：以 Exxon Mobil 為例，除了每股期望值 $69.59，我們還估出了該價值的標準差與各百分位的價值分布。這個分配強化了一個明顯但重要的觀點：評價模型對風險資產所產出的價值估計是不精確的——這也解釋了為什麼不同分析師評價同一項資產會得到不同的估計。

• 模擬產出的期望值比傳統風險調整價值模型更好：事實上，模擬的期望值應該與「用各輸入的期望值（而非整個分配）」所得到的期望值相當接近
• 模擬因為同時提供期望值與價值分配，因而導致更好的決策：未必如此——決策者從「更完整的價值不確定性圖像」中所獲得的利益，可能被對那個風險衡量的誤用抵銷有餘。如後文所述，模擬中的風險被重複計算、以及依錯誤類型的風險做決策，都太過常見

安全邊際（margin of safety, MOS）是價值投資人廣泛用來控制投資風險的衡量：保守的價值投資人會要求股價比價值低 X%（10%、15% 或 20%）才買進。

這雖然直觀，但它不是傳統風險衡量的替代品——你必須先估出股票的價值，才能使用安全邊際。 不過它確實是把「你的不確定性與風險趨避」帶進決策過程的方式，安全邊際隨兩者上升而提高。實務上，安全邊際往往被任意設定，且在不同投資人與投資之間差異很大。

一個做得好的模擬可以用來設定安全邊際，因為它提供了關於價值估計誤差的資訊。 例如你的安全邊際是 20%，正在看 2009 年初的 Exxon Mobil：期望值 $69.59，加上這個要求就意味著股價必須低於 $45（與期望值相距 20%，即 2,000 個結果）你才會買。 提高（降低）安全邊際會給你更低（更高）的價格門檻。而且對「你對未來更不確定」的公司，安全邊際會比「你對輸入更有把握」的公司更大。

有約束條件的模擬#

模擬還有第二個用途：當存在某個「一旦被違反就會為公司帶來巨大成本、甚至導致其消亡」的約束時。 你可以依公司當前特徵檢視該約束被違反的可能性與其對價值的意涵。

帳面價值約束

• 法定資本限制：銀行與保險公司等金融服務業被要求把帳面權益佔放款或其他資產的比率維持在主管機關指定的下限之上。違反資本約束的公司可能被主管機關接管、必須停止營運。 因此金融服務業不只密切關注帳面權益（與相關比率），也意識到「投資或部位的風險可能表現為帳面權益的下降」。事實上，許多金融機構使用的風險衡量工具「風險值（VAR）」，正代表了理解投資潛在風險、並為災難性結果（即使機率極小）做好準備的努力。 藉由在各種情境下模擬其投資的價值，投資人不只能辨識銀行跌破法定比率的可能性，也能辨識評價上的後果——從最壞情況的股權價值全損，到最好情況的新股發行稀釋
• 負的帳面權益：美國有數百家帳面權益為負的公司存活下來、且股權市值很高。但有些國家，負的帳面權益會為公司與其投資人帶來可觀成本——歐洲部分地區的公司若帳面權益為負，被要求募集新股權把帳面值拉回零以上；亞洲某些國家的公司若帳面權益為負則被禁止發放股利。即使在美國，貸款人的債務條款也可能讓他們在公司帳面權益轉負時取得至少部分控制權。 與法定資本限制一樣，投資人可以用模擬評估帳面權益轉負的機率與其對價值的後果

債務約束

在 DCF 評價中，公司價值被當作繼續經營體計算，「無法履行債務支付」的可能性與潛在成本只在折現率中被邊緣地考慮。 現實中，無法履行契約義務的成本可能相當可觀——這些成本一般被歸類為間接破產成本，可能包括顧客流失、供應商信用收緊、員工流動率上升。「公司有麻煩」的認知本身就可能導致更多麻煩。

模擬的四個問題#

• 垃圾進、垃圾出：模擬要有價值，輸入所選的分配就必須建立在分析與資料上，而非猜測。值得注意的是：即使輸入是隨機的，模擬也會產出好看的輸出——毫無戒心的決策者因此可能得到毫無意義的風險圖像。 也值得注意的是：模擬需要對統計分配及其特性有超過皮毛的認識——分不清常態與均勻分配的分析師不該做模擬

• 真實資料未必符合分配：現實世界的問題在於資料很少符合統計分配嚴格的要求。使用一個與輸入變數真實底層分配幾乎不像的機率分配，會產出誤導性的結果
• 非定態分配：即使資料符合某個統計分配、或有歷史資料分配可用，市場結構的移轉也可能導致分配移轉——有時改變分配的形式，有時改變其參數。我們在模擬中真正想用、卻很少評估得到的，是「向前看的機率分配」
• 輸入之間的相關性會變：相關性可以被建進模擬，但這只在相關性維持穩定且可預測時才行得通。就變數之間的相關性隨時間改變而言，要建模就困難得多

模擬與風險調整價值#

與決策樹一樣，模擬中也普遍存在一個誤解：因為使用了機率分配，模擬的現金流就已經過風險調整，因此該用無風險利率折現。除一個例外情況外，這個論證說不通。

跨模擬所得到的現金流是「預期」現金流，並未經過風險調整。因此我們應該用風險調整率折現。

例外情況是：當你用模擬所得價值的標準差作為投資或資產風險的衡量、並據此做決策時。此時使用風險調整折現率會造成風險的重複計算。

簡單例子：你要在兩項資產間選擇，兩者都已用模擬與風險調整折現率評價：

你可以用無風險利率作為兩者的折現率重跑模擬，但要提醒一句：若接著依模擬價值的標準差在兩資產間做選擇，你就是在假設「所有風險都與投資選擇有關」，而非只有「無法被分散掉的風險」。 換言之，你可能因為某資產模擬價值的標準差高而拒絕它，即使把它加進投資組合可能只增添很少的風險（因為它的風險大部分可以被分散掉）。

在投資組合管理中，它也可以作為「在兩檔同樣被低估、但價值分配不同的股票之間做選擇」的決策工具——價值分配波動較小的股票，或許可以被視為比波動較大者更好的投資。

三種機率方法的整體評估#

如何選擇#

三個判準：

• 選擇性 vs 完整的風險分析：最佳／最差情境分析只看三個情境、忽略其他所有情境；即使做多情境分析，也不會對風險投資的所有可能結果有完整評估。決策樹與模擬則試圖考慮所有可能結果——決策樹靠「把連續風險轉換成可管理的一組可能結果」，模擬則用分配捕捉所有可能結果。用機率的話說：情境分析中所檢視情境的機率總和可以小於 1，決策樹與模擬中結果的機率總和必須等於 1。因此後兩者可以用機率作權重算出跨結果的期望值，而這些期望值可以與風險調整價值相比較
• 離散 vs 連續風險：情境分析與決策樹一般圍繞離散結果建構，模擬則更適合連續風險。單就情境分析與決策樹比較：決策樹更適合序列風險（風險分階段考慮），情境分析則在風險並行發生時更容易使用
• 風險之間的相關性：若投資所暴露的各種風險彼此相關，模擬允許明確建模這些相關性（假設你能估計並預測它們）。情境分析中可以主觀地處理相關性——建立容許相關性的情境（高／低利率情境同時包含較慢／較快的經濟成長）。相關風險在決策樹中很難建模

模擬高度倚賴評估機率分配與參數的能力，因此在「有大量歷史與橫斷面資料可用來做這些評估」的情況下效果最好。

決策樹需要各機會節點結果的機率估計，因此最適合「可以用過去資料或母體特徵評估」的風險。

因此毫不意外：面對新穎且不可預測的風險時，分析師仍然會回頭使用情境分析——儘管它處理風險的方式草率而主觀。

補充還是取代風險調整價值？#

情境分析永遠只能是風險調整價值的「補充」，因為它不檢視完整的可能結果光譜。

三種方法用的都是「預期」而非「風險調整」現金流，因此使用的折現率應該是風險調整折現率——不能用無風險利率折現預期現金流。 不過三種方法中，我們仍保有「對不同結果使用不同風險調整折現率」的彈性。

由於三種方法也都會提供估計價值的區間與變異性衡量（決策樹末端節點的價值、模擬價值的標準差），很重要的是不要重複計算風險。 換言之，對風險投資「先用風險調整率折現其現金流，再因為價值變異性高而拒絕它」，是明顯不公平的。

• 現金流要用無風險利率折現以求得價值
• 接著要用這兩種方法所得到的價值變異性衡量，作為該投資的風險衡量

比較兩項期望值相同（以無風險利率為折現率取得）的資產時，我們會挑模擬價值變異性較低的那個作為較好的投資。若這麼做，我們就是在假設「所有建進模擬的風險，對投資決策都相關」——實質上忽略了現代財務所建立的那條界線：可以在投資組合中被分散掉的風險，與資產專屬的風險。

對「把全部財富投在單一資產」的投資人，這是合理的；但對「比較兩檔要加入分散組合之風險股票」的投資組合經理人，這可能產生誤導性的結果——那檔因為模擬價值變異數較高而被拒絕的股票，可能與組合中的其他投資不相關，因而只有很小的邊際風險。

結論#

為風險資產估計風險調整價值，看起來或許像是徒勞的練習——畢竟價值是「我們對風險將如何在未來展開所做的假設」的函數。有了機率方法，我們估計的不只是期望值，還能感受到「跨好壞情境的價值可能區間」。

• 在情境分析最極端的形式中，你檢視最佳與最差情境下的價值，並與期望值對照。在其較一般的形式中，你估計少數幾個可能情境（從樂觀到悲觀）下的價值
• 決策樹是為序列且離散的風險設計的——投資的風險被分階段考慮，每個階段的風險由可能的結果與其發生機率捕捉。決策樹提供了風險的完整評估，可用來決定每個階段的最適行動路線，以及資產今日的期望值
• 模擬提供了最完整的風險評估，因為它建立在每個輸入的機率分配（而非只是離散結果）上。其輸出是跨模擬的期望值與模擬價值的分配