上一章指出：傳統折現現金流評價沒有考慮許多公司所擁有的「延遲投資」選擇權，因而低估了這些投資的價值。本章處理另外兩個常被內嵌在投資（以及擁有它們之公司的價值）中的選擇權：

• 擴張選擇權——不只擴張到新市場，也擴張到新產品，以利用有利的條件。我們主張這個選擇權有時會讓年輕新創公司的價值，顯著高於其預期現金流的現值
• 放棄（或縮減）選擇權——它可以降低大型投資的風險與下檔，因而讓那些投資更有價值

擴張選擇權#

公司有時投資於某些專案，是因為那些投資讓它們得以在未來進行進一步的投資、或進入其他市場。在這種情況下，我們可以把初始專案視為產生了選擇權，而這些選擇權有價值。 換句話說，公司可能接受初始專案的負淨現值，因為未來專案有出現高正淨現值的可能。

損益結構#

假設初始專案賦予公司在未來擴張並投資於新專案的權利。今日評估，未來專案現金流的預期現值為 V、所需總投資為 X。公司有一個固定的時間視野，期末必須對是否進行未來投資做出最終決定；且若不執行初始專案，就無法推進這項未來投資。

在固定期間屆滿時，若當時的預期現金流現值超過擴張成本，公司就會擴張。 注意：初始專案是一項傳統投資，真正讓天平傾斜的是擴張選擇權。

輸入變數#

理解關鍵在於：這裡有兩個相連的專案。

• 第一個專案通常淨現值為負，即使投資它的公司也認為它是一筆糟糕的投資
• 第二個專案是「隨第一個專案而來的擴張潛力」——它才是選擇權的標的資產

範例 29.1：評價擴張選擇權——Ambev 與 Guarana

Guarana 是巴西極受歡迎的含咖啡因軟性飲料，Ambev 是全球最大的 Guarana 生產商。假設 Ambev 考慮把這款飲料引進美國，並決定分兩步走：

1. 先在美國大型都會區推出以測試潛在需求：預期成本 $5 億，預期現金流現值僅 $4 億——淨現值 −$1 億
2. 若有限推出成功，再推向美國其餘市場：全面推出成本 $10 億，但目前公司對此並不樂觀，預期現金流現值僅 $7.5 億（同樣是負淨現值的投資）

乍看之下，「投資一個糟糕專案以換取投資一個更糟專案的機會」像是筆爛交易——但第二筆投資有一個救贖之處：它是一個選擇權。

若預期現金流現值仍低於 $10 億，Ambev 就不會進行第二筆投資。 而且這個市場的規模與潛力有相當大的不確定性，公司很可能發現自己手上有一筆賺錢的投資。

選擇權輸入：

S = 擴張選擇權今日的現金流現值 = $750M
K = 履約價 = $1,000M（價外選擇權）
t = 5 年
標準差 = 35%（美國小型上市飲料公司的公司價值平均標準差）
無風險利率 = 5%

u = 1.4032
d = 0.6968

用第 5 章的複製投資組合架構，擴張選擇權的價值估計為 $2.03 億：

有限推出的 NPV = −500 + 400 = −$1 億
擴張選擇權價值 = +$2.03 億
含擴張選擇權的 NPV = −$1 億 + $2.03 億 = $1.03 億

Ambev 應該進行這個淨現值為負的有限推出，因為它藉此取得了一個價值大得多的選擇權。

過去兩章多次建議實質選擇權模型所用的變異數可由模擬導出。蒙地卡羅模擬需要三個步驟：

1. 為每個支撐現金流的關鍵輸入定義機率分配及其參數（若為常態分配即平均數與標準差）
2. 每次模擬從各分配中抽取一個結果，並依這些抽樣估算現金流現值
3. 重複模擬後得到一個現值的分配：其平均數應為專案的期望值，其標準差可作為評價專案選擇權所用的變異數

兩點警告：

• 最困難的一步是估計關鍵變數的機率分配與參數。 公司若過去有類似專案的經驗（例如零售商評估開新店），會比全新產品或全新市場容易得多。若餵進模擬的分配是隨意的，產出無論在紙上看起來多漂亮，都毫無意義
• 選擇權定價模型要的是「跨時間」的變異數，不是「某個時點」的變異數。 差別何在？市場測試提供的是「今天的市場潛力」的分配、反映的是估計不確定性；但市場本身會隨時間演進，你想估的是「那個」分配的變異數（你可能對今天的市場規模相當確定——變異數低甚至為零——但對一年後或三年後的市場毫無把握，決定選擇權價值的正是後者的變異數）

另外，你該估的是專案價值（現金流現值總和）的標準差，而不是年度盈餘或年度現金流的標準差。

評價擴張選擇權的問題#

實務考量與延遲選擇權類似。多數擁有擴張選擇權的公司，並沒有一個必須做出擴張決策的特定時間視野，使它們成為開放式選擇權，或至多是年限任意的選擇權。

即使能估出年限，產品的市場規模與潛力也可能未知，兩者都難以估計。以 Ambev 為例：我們採用了五年期限，但在初始投資做成時，這個時間框架很可能根本沒有被指定；我們也假設擴張的成本與現值在初始投資時就已知，但現實中公司在開出第一家店之前，對這兩個輸入可能都沒有好的估計——因為它對底層市場所知不多。

延伸與意涵#

擴張選擇權可以被公司用來合理化「淨現值為負、但提供顯著新市場或新產品機會」的投資。選擇權定價法為這個論證增添了嚴謹性——它估出這些選擇權的價值，也提供了「它們何時最有價值」的洞見。

三個應用場景：

（一）併購中的策略考量

收購方常相信交易會給它未來的競爭優勢：

• 進入大型或成長中的市場：讓公司遠比原本更早進入一個大型（或潛力龐大）的市場——例如美國公司收購墨西哥零售商以進軍墨西哥市場
• 技術專長：收購動機是取得專有技術，使收購方得以擴張既有市場或進入新市場
• 品牌：公司有時為擁有有價值品牌的公司付出遠高於市價的溢價，因為它們相信這些品牌未來可以用來擴張進入新市場

（二）研發與試銷費用

在研發與試銷上投入大量金錢的公司，在評估這些費用時常常束手無策——因為報償是以「未來投資」的形式出現。同時，錢花下去之後，產品或專案很可能根本不可行，因此該支出必須被視為沉沒成本。

兩個推論：

• 其他條件相同時，研發支出對「波動度高之事業」的公司價值高得多，因為產品或專案現金流的變異數與買權價值正相關。因此 3M（在便利貼等基本辦公用品上投入大量研發）從研究中得到的選擇權價值，應該低於研究主要集中在生技產品的 Amgen
• 研究的價值與最適研究支出金額會隨事業成熟而改變。 最好的例子是製藥業：1980 年代醫療支出擴張，藥廠投入大量研究並在新產品上賺取高報酬；1990 年代醫療支出趨於平緩、事業成熟，許多公司發現研究不再有同樣的報償，於是開始縮減——有些公司把研究經費從傳統藥物移往生技產品，因為那裡對未來現金流的不確定性仍然很高

（三）多階段專案／投資

進入新事業或執行新投資時，公司有時可以選擇分階段推進。雖然這麼做會壓縮潛在上檔，但也保護公司免於下檔風險——它讓公司在每個階段衡量需求、再決定是否進入下一階段。 換句話說，一個標準專案可以被重新表述為一系列相互依賴的擴張選擇權。 兩個推論：

• 某些「一次全投」不具吸引力的專案，若公司能分階段投資，可能是創造價值的
• 某些「一次全投」看起來就有吸引力的專案，分階段執行可能更有吸引力

分階段最有利的專案類型：

• 競爭者進入市場的障礙顯著、無法利用你延後全面生產的空隙。握有產品專利或其他法律保護的公司，為「從小開始、邊學邊擴張」所付出的代價要小得多
• 市場規模與專案最終成敗有不確定性。從小處著手、分階段擴張，讓公司在產品銷售不如預期時減少損失，並在每個階段更了解市場——這些資訊對後續階段的產品設計與行銷都有用
• 需要大量基礎建設投資、營運槓桿（固定成本）高的專案。由於分階段執行的節省可追溯到各階段所需的投資，當那些成本很大時利益也較大——資本密集的專案、以及需要大量初期行銷支出的專案（消費品公司的全新品牌產品），從分階段投資所創造的選擇權中獲益更多

擴張選擇權何時才有價值？#

「某些投資內嵌有價值的策略或擴張選擇權」這個論證極具吸引力，但它也可能被用來合理化糟糕的投資。事實上，收購方長期以來就以綜效與策略為由，為併購證成巨額溢價。

我們必須在「衡量實質選擇權價值」與「用實質選擇權作為付出高價或做爛投資的理由」這兩件事上更嚴謹。

量化的要求#

換句話說，主張投資於報酬不佳之專案、或為併購付出溢價（理由是這筆投資產生的實質選擇權）的經理人，應該被要求為這些實質選擇權估值，並證明經濟利益超過成本。

反對這項要求有兩個論點：實質選擇權不易評價（輸入難以取得且雜訊大）；選擇權定價模型的輸入很容易被操弄以支持任何預設結論。兩個論點都有其基礎，但一個估計勝過完全沒有估計——而且「試圖估計實質選擇權價值」的過程，本身就是理解「什麼在驅動其價值」的第一步。

擴張選擇權有價值的三個檢驗#

1. 初始投資是後續投資／擴張的必要前提嗎？若不是，它有多必要？

回想上一章對專利與未開發油藏的分析：公司不投資研究（或向他人購買）就無法取得專利，不花錢探勘、在政府拍賣中出價或向其他石油公司購買就取不到未開發油藏的權利。 這裡的初始投資（研發支出、拍賣出價）是公司取得第二筆投資的必要條件。

但 Ambev 的例子不同：初始投資提供市場潛力的資訊，公司若沒有它推定就不願意擴張到更大市場——但初始投資並不是第二筆投資的必要前提，儘管管理層可能這樣認為。

2. 公司對後續投資／擴張擁有獨家權利嗎？若沒有，初始投資是否為後續投資帶來顯著的競爭優勢？

第二筆投資的超額報酬潛力越大，第一筆投資中擴張選擇權的價值就越高。 而超額報酬的潛力，緊密繫於「第一筆投資為公司在後續投資上帶來多少競爭優勢」。

一端是投資研發以取得專利——專利給予擁有者生產該產品的獨家權利，若市場潛力龐大，就等於給了它享受專案超額報酬的權利。另一端是公司在後續投資上完全沒有競爭優勢，此時這些投資能否有任何超額報酬本身就成問題。現實中多數投資落在兩端之間的連續光譜上：競爭優勢越大 → 超額報酬越高 → 選擇權價值越大。

3. 這些競爭優勢可持續嗎？

在競爭市場中，超額報酬吸引競爭者，而競爭壓低超額報酬。公司所擁有的競爭優勢越可持續，初始投資中所內嵌之選擇權的價值就越大。 可持續性取決於兩股力量：

• 競爭的性質：其他條件相同時，在競爭者激進的產業，競爭優勢消退得快得多
• 競爭優勢的性質：若公司控制的資源是有限且稀缺的（天然資源蘊藏、空地即是），競爭優勢可能維持較久；反之，若競爭優勢來自先行者地位或技術專長，會早得多就受到攻擊

三個問題都是肯定的，擴張選擇權才可能有價值。

Ambev 雖是全球最大的 Guarana 生產商，但它對這項產品並沒有獨家性。若初次推出證實成功，可口可樂與百事完全可能為全國市場生產自己版本的 Guarana。若真如此，Ambev 就花了 $1 億自己的錢，替競爭對手提供市場資訊。

因此，若 Ambev 的初始投資沒有為它在擴張市場帶來競爭優勢，擴張選擇權就不再有價值，也不能用來證成初始投資。

兩個中間情境的處理方式：

• 若初始投資讓 Ambev 在擴張投資上取得領先時間，可以在那段領先期建入較高的現金流、其後逐漸衰減到較低的現金流。這會降低擴張的現金流現值與選擇權價值
• 更簡單的調整是為現金流現值設上限，理由是競爭會限制淨現值能變得多大，再以此上限評價選擇權。例如假設擴張選擇權的現金流現值不能超過 $20 億，擴張選擇權的價值就掉到 $1.42 億

複合選擇權（compound option）是「選擇權的選擇權」。簡單的例子：一家只有一項資產（一項專利）之小公司的買權——上一章論證專利本身可視為選擇權，因此對該公司的買權就成了複合選擇權。

也可能有一連串序列選擇權，其中每個選擇權的價值取決於前一個是否被履約。 例如一個五階段專案就有序列選擇權：你能否走到第五階段，顯然是「能否通過前四階段」的函數，序列中第五個選擇權的價值由前四個選擇權的結果決定。

不用說，有序列與複合選擇權時，選擇權定價會更複雜。有兩個選擇：把它們當成簡單選擇權評價、接受所得價值是近似值；或修改選擇權定價模型以容納這些選擇權的特殊性質（Black-Scholes 與二項式模型都可以被修改來為複合與序列選擇權定價）。

評價擁有擴張選擇權的公司#

至少在理論上，對「處於大型且演進中之市場的小型高成長公司」，這個論證是有理據的。

折現現金流評價建立在預期現金流與預期成長之上，而這些預期應該已經反映了「公司可能極為成功（或極為失敗）」的機率。這些預期可能沒有考慮到的是：一旦成功，公司可以投入更多、加入新產品、或擴張到新市場，把成功放大——這才是創造額外價值的實質選擇權。

公司價值 = 折現現金流價值 + 擴張選擇權價值

若你因為擴張選擇權而使用了「高於預期所能證成」的成長率，你就已經在折現現金流評價中計入了選擇權的價值。再加一個成分反映選擇權價值，就是重複計算。

評價步驟：先定義公司擁有進入權的市場，再明確指出你認為會賦予它某種程度獨家性的競爭優勢。確信獨家性存在後，估計「今天就進入該市場」的預期現金流與進入成本（推定成本會超過預期現金流，否則你早就進入了）。進入市場的成本成為履約價，今天進入市場的預期現金流成為標的資產價值。

估計變異數：可以對市場如何隨時間演進跑模擬，或使用今天服務該市場之上市公司的變異數作為底層市場波動度的代理。還必須指定一個「必須決定是否進入市場」的期間，這成為選擇權年限——你可以把這個假設綁到競爭優勢的假設上（例如你握有未來十年進入該市場的獨家授權，就用十年）。

S = 進入資料庫市場之預期現金流現值 = 40 × (1 − 1.12^−10) / 0.12 = $226M
K = 進入資料庫軟體市場的成本 = $500M
t = 擴張機會存在的期間 = 5 年
σ = 50%
r = 3%

d₁ = 0.0171   N(d₁) = 0.4932
d₂ = −1.1351  N(d₂) = 0.1282

買權價值 = 226 × 0.4932 − 500 × e^(−0.03×5) × 0.1282 = $5,630 萬

用戶與資料中的選擇權性#

過去二十年，網路的普及與連網裝置（智慧型手機、平板）的無所不在，催生了兩股驅動商業與市場的力量：數百萬、有時數千萬的用戶／訂閱者／顧客聚集在提供各式服務的平台上（搜尋引擎 Google/Alphabet、社群媒體 Facebook/Meta、娛樂 Netflix、零售 Amazon）；以及這些公司蒐集了關於用戶行為與選擇的資料（有時是自願提供，有時不是），並善加運用。

「數百萬用戶 + 大數據」這帖猛藥被用來證成龐大的市值——部分論證訴諸內在價值（更高的盈餘與成長），部分則建立在「來自用戶與資料之未指明利益」的承諾與潛力上，也就是它們的選擇權性。

用戶的選擇權性#

第 20 章估計過用戶與訂閱者的內在價值，並論證這個價值來自標準的驅動因子——用戶在平台上的預期留存期間，以及公司在該期間從用戶身上產生的預期現金流。

那為什麼還需要把選擇權性帶進討論？ 以 Meta 為例，它在多個平台（Facebook、Instagram、WhatsApp）上有近 30 億人。假設你依它目前主要的變現形式（廣告收入）評價 Meta，估得內在價值每股 $500，接近 2024 年 6 月的市價。 依內在價值看它定價合理，但 Meta 有可能找到其他方式從其用戶基礎產生收入（娛樂、零售、遊戲），而那些可能性今天雖不可行，未來卻可能可行。 這實質上就是一個選擇權性論證，可以用來證成高於內在價值的溢價，把股票從「合理定價」轉為「低估」。

雖然現在為平台選擇權套上定價輸入、導出實際價值可能還太早，但考慮以下因素以判斷「溢價該不該存在、以及該大還是該小」，並不算太早。

用戶基礎之選擇權性價值最大的公司，是那些在「因產品／服務技術與顧客品味變化而未來難以預測」之事業中，擁有大量黏著、高強度用戶的公司。

對照三個平台：

• Snapchat：雖有數百萬用戶，但用戶較不黏著、強度較低，因而較不可能接受公司提供的附加產品與服務
• Meta：用戶在平台上花的時間顯著更多，更可能接受公司提供的娛樂或零售產品與服務
• Amazon Prime：擁有 1.5 億名基於無數次過往互動而對 Amazon 建立忠誠度的 Prime 會員、且隨傳隨到，其潛在上檔相當於為 Amazon 的顛覆平台備好了一支軍隊，可以攻向它選擇的幾乎任何事業——從支付處理的 PayPal 到處方藥的 CVS
• Netflix：相較之下，其模式在「可以賣給訂閱者的其他產品與服務」上潛在上檔較小，因而選擇權性較低

資料的選擇權性#

2017 年 MoviePass 推出了一個近乎滑稽的糟糕商業模式：每月付十美元，訂閱者可以在自選戲院看想看的任意數量電影。 管理層的辯解是：這不只會吸引數百萬用戶，公司還能從用戶身上蒐集電影反應與偏好的資訊，並將其變現。 那個承諾從未兌現、商業模式也告終，但整個十年間，有數百家公司用大數據的承諾換取豐厚的市場定價——許多案例的論證是「今天蒐集的資料，未來某時會找到未指明的用途，帶來顯著的經濟利益」，也就是一個選擇權性論證。

1. 資料必須具有獨家性：要讓資料有價值，你必須在取得該資料上有某種程度的獨家性，或在處理該資料上有專有優勢。 這也是為什麼投資人大體上無法把「更容易取得財務資料」轉換成投資獲利。Netflix 蒐集的「訂閱者看什麼、在哪裡停看」的資料顯然具獨家性；Bird 滑板車蒐集的位置資料則近乎一文不值，因為數十個實體都拿得到
2. 資料必須可被行動化：要把資料轉成利潤，你必須找到方法把所取得的資料優勢變現。 對提供產品與服務的公司，這會表現為依資料所學修改既有產品／服務、或推出新產品／服務。抽象、難以想像如何變現的資料，應被視為價值低於具體、且提供變現路徑（即使那些路徑今天還不可行）的資料
3. 資料能解決（部分）不確定性：依照「選擇權的價值來自不確定性」的原理，在「結果或行為有顯著不確定性」的領域所蒐集的資料，比在「偏離常態程度較小」之領域所蒐集的資料更有價值

用這份檢核表評估大數據主張，會讓你在判斷資料價值時更有鑑別力。

財務彈性的價值#

做財務決策時，經理人會考慮這些決策對「未來進行新投資或應付未預期突發狀況之能力」的影響。實務上，這表現為公司維持超過當前所需的多餘舉債能力或較大的現金餘額，以應付未預期的未來需求。

決定因素#

公司維持大額現金與多餘舉債能力的一個原因，是保有「未來能執行未預期高報酬專案」的選擇權。 要把財務彈性當作選擇權評價：

平均再投資需求佔公司價值 = 7.71%
ln(再投資需求) 的標準差 = 22.36%

S = 7.71%
K = 5.82%
t = 1 年
σ² = (0.2237)² = 0.05
無風險利率 = 6%

選擇權價值 = 0.02277

彈性價值 = 0.02277 × (0.1637 − 0.0951) / 0.0951 = 1.6425%

意涵#

把財務彈性視為選擇權，可以看出它何時最有價值：

• 其他條件相同時，「專案報酬遠高於門檻報酬率」之事業中的公司，應該比「超額報酬微薄之穩定事業」中的公司更重視彈性。 這意味著微軟、輝達（Nvidia）這類在專案上賺取龐大超額報酬的公司，可以用「需要財務彈性」來合理化持有大額現金與維持多餘舉債能力
• 由於公司支應再投資需求的能力由其產生內部資金的能力決定，其他條件相同時，財務彈性對「盈餘佔公司價值比重大且穩定」的公司價值較低。 盈餘小或為負、因而產生內部資金能力低得多的公司，會更重視彈性
• 內部資金有限的公司，若能取用外部市場（銀行債、債券、新股），仍可以只保有很少甚至沒有財務彈性。 其他條件相同時，公司從外部資本市場籌資的能力（與意願）越強，彈性的價值就越低。 這或許解釋了為什麼私人或小型公司（取得資本的管道少得多）比大型上市公司更重視財務彈性。公司債市場的存在也會造成差別：在公司無法發債、必須完全倚賴銀行融資的市場，取得資本的管道較少，維持財務彈性的需求也較大
• 彈性的需求與價值，是「公司對未來再投資需求有多不確定」的函數。 再投資需求可預測的公司，應該比再投資需求逐期波動之事業中的公司更不重視彈性

我們對 Home Depot 的分析用的是總負債比（不可能低於 0%）。若改看淨負債比（總債務減現金），公司完全可能有負的淨負債比。

延伸財務彈性的論證：在極端情境下——內部現金流低或為負、且無法取用資本市場——公司不只不會用掉舉債能力（把總負債比壓到零），還會囤積現金。這或許解釋了為什麼許多新興市場公司與年輕科技公司完全不用債務、卻累積大量現金。

放棄選擇權#

投資新專案時，公司會擔心投資無法回本、實際現金流達不到預期的風險。擁有「放棄不賺錢專案」的選擇權可能很有價值，對有顯著虧損可能的專案尤其如此。

設 V 為專案若持續到壽命終了的剩餘價值，L 為同一時點的清算或放棄價值：

擁有放棄選擇權的損益 = 0        若 V ≥ L
                    = L − V    若 V < L

S = 今日該投資之現金流分額的現值 = $480M
K = 放棄價值 = $400M
t = 放棄選擇權有效期間 = 5 年
σ = 25%（空中巴士以蒙地卡羅模擬估得的專案價值標準差）

放棄選擇權價值 = 400 × e^(−0.05×5) × (1 − 0.5776) − 480 × e^(−0.033×5) × (1 − 0.7748)
               = $4,009 萬

評價放棄選擇權的問題#

範例 29.4 相當不切實際地假設放棄價值被明確指定、且在專案生命期內不變。這在「放棄選擇權被寫進合約」的特定情況下可能為真，但更常見的是：公司擁有放棄的選擇權，而放棄的殘值只能被估計。

此外，放棄價值可能在專案生命期內改變，使傳統選擇權定價技巧難以套用。

最後，放棄專案完全可能不帶來清算價值、反而製造成本——製造業公司可能得付資遣費給員工。此時除非專案的現金流更加為負，否則放棄並不划算。

延伸與意涵#

放棄選擇權有價值這件事，為公司「建立縮減或終止不符預期之專案的營運彈性」提供了理由。 它同時也指出：那些為了創造更多營收而提供顧客「可以走人」選項的公司，必須把較高的營收與「授予顧客之選擇權的成本」相權衡。

（一）合約中的脫身條款

創造放棄選擇權最直接的方式，是在與專案相關方的合約中建立營運彈性：與供應商的合約簽年約而非長約、員工採約聘而非長聘、專案所用的廠房採短期租賃而非購買、財務投資分階段而非一次到位。建立這份彈性有成本，但在波動的事業中，獲益可能大得多。

（二）給顧客的誘因

例如某公司以多年期合約銷售產品、並提供顧客「隨時取消合約」的選項。這或許會提高銷售，但代價很可能相當可觀：一旦經濟衰退，無力履約的顧客很可能取消合約。 初始銷售所獲得的利益（靠「買方可取消」的誘因取得），可能被提供給顧客之選擇權的成本抵銷。

調和淨現值法與實質選擇權法#

答案在於公司「依市場所觀察到的情況，改變投資與經營專案方式」的彈性。 石油公司在油價跌到每桶 $15 時，不會像油價漲到 $95 時那樣生產同樣多的石油、或鑽同樣多的新井。

在傳統淨現值法中，我們考慮預期行動與那些行動的現金流後果來估計投資價值。若未來有進一步投資、擴張或放棄的可能，你能做的只是考慮這些行動的機率並把它們建進現金流。 分析師常用決策樹來容納彈性，把每個結果下的最適路徑畫出來，再用各分支的機率與現金流現值估算今日的專案價值。

決策樹與我們用來評價實質選擇權的二項樹確實非常相似，但有兩個差異：（一）結果的機率並未被直接用來評價實質選擇權；（二）二項樹的每個節點只有兩個分支。

實質選擇權法用複製投資組合計算價值；決策樹則全程用專案的資金成本作為折現率。 若對市場風險的曝險（也就是決定資金成本的東西）在每個節點都改變，你可以主張全程用同一個資金成本是錯的、應該隨時間推移修改折現率。若你這麼做，兩種方法會得到相同的價值。

實質選擇權法確實容許遠更高的複雜度，且在處理連續分配（相對於決策樹所假設的離散結果）時更簡單。 第 33 章會回頭檢視決策樹與其他機率方法。

結論#

本章考慮了兩個內嵌在許多投資中的選擇權。

擴張選擇權：當公司擁有擴張投資的選擇權時，這個選擇權的價值有時足以壓過「初始投資淨現值為負」這件事。 把這個概念延伸到公司評價：對有潛力進入新市場或創造新產品的公司，你有時可以在折現現金流評價的價值上加一個溢價。 這個擴張選擇權在公司擁有進行這些投資的獨家權利時價值最大，並隨公司所享有的競爭優勢下降而遞減。

放棄選擇權：指公司常擁有的「從糟糕投資中走人」的權利。就它降低公司對最壞結果的曝險而言，它可能決定了「投資或不投資一個新專案」的差別。