在傳統的投資分析中，只有當專案報酬超過門檻報酬率時才該接受——換成現金流與折現率的語言，就是投資於淨現值（NPV）為正的專案。這個世界觀的限制在於：它沒有充分考慮許多投資中通常內含的選擇權。

本章處理其中一種：等待、在未來某期才執行專案的選擇權。公司為什麼會想這麼做？若專案現金流的現值是波動的、且會隨時間改變，一項今天過不了關的專案或技術，未來可能變得有價值。 更進一步，即使專案的淨現值已經為正，公司仍可能因為等待而獲益，因為在未來某個日期執行，專案的價值可能更高。

至少有三個情境中，延遲選擇權會影響公司的評價：

• 不動產投資人或公司手中的未開發土地：何時開發的選擇權握在擁有者手上，開發推定會在不動產價值上漲到足以證成時發生
• 擁有專利的公司：由於專利賦予公司生產該產品或服務的獨家權利，它可以、也應該被當作選擇權來評價
• 擁有未開發蘊藏的天然資源公司：可以自行選擇何時開發，推定是在該資源價格高的時候

實質選擇權：承諾與陷阱#

第 5 章介紹過選擇權定價的基礎，並藉其獨特的損益圖（損失有限、獲利潛在無限）說明為什麼風險（不確定性）反而成了盟友，會提高選擇權價值。本章與後兩章要用這套機制來評價我們寬鬆歸類為**實質選擇權（real options）**的東西——具有選擇權特性、因而也具有選擇權價值的專案、資產與公司。

實質選擇權的魅力#

考慮一棵簡單的決策樹（金額以百萬計）：若總體上有 $1 億的正現金流機會與 $1.2 億的負現金流機會，其期望值為 −$1,000 萬，這筆投資顯然不該做。

現在考慮同一棵樹的變體：上檔與下檔的總量完全相同，但多了一個先行分支，先行分支上的金額較小。

期望值 = 0.25 × (−20) + 0.75 × [20 + (2/3) × 80 + (1/3) × (−100)]
       = $2,500 萬

差別來自那個先行分支——你在其中觀察結果並調整行為。換句話說，第一個分支若出現負面結果，你就在 $2,000 萬處停損、放棄這筆投資。

簡言之：你藉由觀察市場結果而學習，並據此調整行為。

實質選擇權的價值來自同一股力量。本章稍後會把未開發油藏當作選擇權評價，其選擇權性來自：油藏擁有者觀察實際油價並據此調整開發／生產——油價高時多開發多生產、油價跌時少做。

用評價的語言說：內含實質選擇權的資產，其選擇權價值疊加在其內在價值之上。

如何偵測選擇權性#

回到「什麼讓選擇權成為選擇權」：第一，它的價值衍生自一項標的資產，隨標的資產價值改變；第二，有一個「或有條件」決定你能否從該資產取得現金流。

以油藏為例：標的資產是地下的石油，或有條件是「石油的價值必須超過開採成本」，這個選擇權才會價內、才是可行的。

後續檢驗：為該資產畫一張損益圖，把資產現金流對標的資產價格作圖。若這張損益圖長得像買權或賣權的損益圖，你就有必須被評價的選擇權性。

這份選擇權性有價值嗎？#

許多實質選擇權的擁護者常用選擇權論證來為「進入大市場所付的溢價」辯護——不論是地理上（例如本世紀初的中國）或技術上（例如 2024 年的 AI）。但「機會」不等於「選擇權」：進入一個大市場的機會或許因其他理由而有價值，但除非你能額外論證該公司在那個大市場中擁有某種程度的獨家性，否則就沒有選擇權性。

那份獨家性可以從絕對的（政府或專利保護你免於競爭）到相對的（先行者相對後進者的優勢）。

本章評價的兩種實質選擇權，其獨家性分別來自：專利的法律保護與油藏的自然稀缺。

選擇權定價模型能用嗎？#

選擇權定價模型建立在兩塊基石上：複製（用標的股票與無風險借貸建立一個現金流與選擇權相同的部位）與套利（若兩者價格不同，交易會消除價差）。這兩塊基石在標的資產與選擇權都有交易、且你能以無風險利率借貸時效果最好。

• 標的資產與選擇權往往都沒有交易，使複製與套利成為抽象概念
• 選擇權定價所需的許多輸入（尤其變異數）來自交易價格，而許多實質選擇權取不到這些價格

以本章的兩個例子對照：

• 專利：標的資產是你所專利的產品、專利是選擇權，兩者都沒有交易，你是在延伸選擇權定價的極限
• 未開發油藏：標的資產是地下的石油，它有交易（石油是交易中的商品），而石油公司之間也確實會買賣油藏（雖然不頻繁）。由於你也能用觀察到的油價波動度作為模型輸入，用選擇權定價模型評價油藏，立足點穩固得多

與許多上市交易選擇權（提前履約罕見、多數持有到履約）不同，多數實質選擇權的價值正是靠提前履約而產生的。例如把專利視為選擇權、把剩餘專利保護年限視為選擇權年限時，你不會想等到專利壽命的最後一刻才把專利開發成產品。

提前履約的普遍性會影響模型的選擇：有些實務工作者堅持只用二項式模型評價實質選擇權，因為它允許提前履約。 我們不那麼教條——使用 Black-Scholes 模型（儘管其歐式選擇權的根源）會給你一個保守的價值估計，提前履約的選擇權只會在這個估計之上再加分。 本章每個選擇權都會同時提供兩種模型的估計值，讓你看到差異（或更誠實地說，差異之小）。

延遲專案的選擇權#

專案通常依分析當下的預期現金流與折現率來評估。但預期現金流與折現率會隨時間改變，淨現值也會。因此今天淨現值為負的專案，未來可能為正。

但在「因法規限制或其他進入障礙，只有一家公司能執行該專案」的環境中，專案價值隨時間的變化就賦予它買權（call option）的特性。

損益結構#

設專案需前期投入 X，今日計算的預期現金流入現值為 V：

NPV = V − X

假設公司在未來 n 年對此專案擁有獨家權利，且 V 在這段期間可能改變（成本固定在 X）。決策規則是：

若 V > X  → 投資：專案 NPV 為正
若 V < X  → 不投資：專案 NPV 為負

若公司在整個期間都不投資，就不會有額外現金流（雖然它會損失為取得獨家權利所投入的金額）。這正是買權的損益圖：

輸入變數#

（一）標的資產的價值

即「立即啟動專案（不含前期投資）之預期現金流的現值」，可用標準投資分析（以風險調整折現率折現預期現金流）取得。

現金流估計與現值很可能有相當大的誤差，尤其專案屬於新事業或涉及未經驗證的技術時。但這份不確定性不該被視為問題——它正是延遲選擇權有價值的原因。

若專案的預期現金流可以確知且預期不會改變，就根本不需要採用選擇權架構，因為選擇權沒有任何價值。

（二）資產價值的變異數

三種估法：

• 若過去投資過類似專案，可用那些專案現金流的變異數作為估計。吉列（Gillette）這類消費品公司要估「推出新刮鬍刀片」的變異數，或許就是這樣做
• 對各種市場情境賦予機率，估出每個情境下的現金流與現值，再計算跨情境現值的變異數。或者為專案分析的各個輸入（市場規模、市佔、利潤率）估計機率分配，用模擬估出現值的變異數。 這個方法在只有一兩個顯著不確定性來源時效果最好（第 33 章會詳談）
• 用同業公司價值的變異數作為專案現值變異數的估計。例如用軟體業公司價值的平均變異數，作為軟體專案現值的變異數

因此，在穩定產業中投資某專案的選擇權，其價值會低於在「技術、競爭與市場都快速變動」之環境中的選擇權。

（三）履約價：公司決定投資時所需的初始投資成本。隱含假設是這個成本維持不變（以現值美元計），任何與投資相關的不確定性都反映在產品現金流的現值裡——這比較是為了方便而非必要的假設。

（四）到期日與無風險利率：選擇權在專案權利失效時到期（權利到期後的投資被假設淨現值為零，因為競爭會把報酬壓回要求報酬率）。無風險利率應對應選擇權的到期日。

（五）延遲的成本（相當於股利殖利率）

注意：淨現值轉正之後，延遲投資是有成本的。 多等一期，你可能因變異數把價值推更高而獲益，但也失去了一期的競爭保護。

兩種估法：

年度延遲成本 = 1 / n        （現金流隨時間均勻分布、專利年限 n 年時）

延遲成本 = 下一期預期現金流 / 今日現值   （現金流不均勻時的一般式）

若專案權利為 20 年，第一年的年度延遲成本為 1/20 = 5%。但這個成本逐年上升——第二年 1/19、第三年 1/18……延遲履約的成本會隨時間越來越大。

因此，公司延遲投資的可能性在獨家權利期的早期較高、後期較低，並隨「等待一期所損失之現金流」的增加而下降。

專案 NPV = −$5,000 萬 + $1,000 萬 × (5 年年金現值因子, 15%)
         = −$5,000 萬 + $3,350 萬 = −$1,650 萬

標的資產價值 S = 立即推出產品之現金流現值 = $3,350 萬
履約價 K = 推出產品所需的初始投資 = $5,000 萬
標的資產價值變異數 = 0.42² = 0.1764
到期時間 = 產品獨家權利期間 = 5 年
股利殖利率（延遲成本）= 1 / 5 = 0.20
五年期無風險利率 = 5%

買權價值 = 33.5 × e^(−0.2×5) × 0.2250 − 50 × e^(−0.05×5) × 0.0451 = $101.9 萬

Black-Scholes 與二項式模型都假設你能用標的資產與無風險借貸建立一個「現金流與選擇權完全相同」的複製投資組合，並假設投資人可以透過買選擇權、賣複製組合建立無風險部位，因此兩者必須以相同價格交易——這正是模型中使用無風險利率的原因。

對上市股票或資產的掛牌選擇權，套利顯然可行（至少對某些投資人）；對非交易資產的選擇權，複製組合幾乎不可能交易，雖然你可以在紙上建立它。 範例 28.1 中，你需要買 0.225 單位（選擇權 delta）的標的專案（一項非交易資產）才能複製這個買權。

有人主張套利的不可能性使選擇權定價模型不適用於實質選擇權；也有人試圖用「高於無風險利率」的利率來調整。我們認為這兩種回應都不恰當。

注意：許多實質選擇權雖然無法用複製組合交易，你仍可以在紙上建立它並評價選擇權。 建立套利部位的困難或許會導致價格與這個價值大幅偏離。而提高無風險利率以反映實質選擇權的較高風險，看似顯而易見的修正，實際上只會讓買權（例如範例 28.1）更值錢，而非更便宜。

若你想更保守地估計實質選擇權的價值以反映套利的困難，有兩個選擇：

• 用較高的折現率計算「今天投資該專案所預期之現金流」的現值，藉此壓低模型中的標的資產價值 S。 範例 28.1 中，用 20% 而非 15% 的折現率，現值會是 $2,910 萬，取代 $3,350 萬作為 S
• 先評價選擇權，再對它套用一個流動性不足折價（類似評價私人公司時使用的），因為它不易交易

評價延遲選擇權的問題#

• 標的資產（即專案）沒有交易，使其價值與變異數都難以估計。價值可以從預期現金流與折現率估出（雖有誤差），但變異數更難——我們是在估計「專案價值隨時間的變異數」
• 價格隨時間的行為可能不符合模型假設的路徑。尤其「價值遵循擴散過程、且變異數隨時間不變」的假設，在專案脈絡下可能難以證成——技術的突然變化可能戲劇性地改變專案價值（往好或往壞）
• 公司對專案的權利期間可能沒有明確定義。專利有明確的獨家生產期間，但公司對特定專案的權利在獨家性與時間上往往都較不明確。例如一家在零售或消費品上有強勢品牌的公司，其權利不是法律限制，而是會隨時間侵蝕的優勢。此時專案本身的預期壽命也只是一個估計值

諷刺的是：「選擇權預期壽命的不確定性」本身會提高現值的變異數，並藉此提高專案權利的預期價值。

意涵與延伸#

把延遲視為選擇權，浮現三個有趣的意涵：

• 一個專案今天依預期現金流可能淨現值為負，但它的權利仍可能因選擇權特性而有價值。 同理，在高風險產業中、對一項不可行技術的獨家權利，也可能值一大筆錢
• 一個專案可能淨現值為正，卻不該立刻被接受。公司可能因為「等待、在未來某期執行」而獲益——理由與投資人不總是履約價內選擇權相同。當公司對該專案擁有長期權利（作為對競爭的保護）、且專案現金流入的變異數很高時，等待的可能性更高。例如某公司握有生產新型電腦儲存裝置的專利權，蓋新廠今天就有正淨現值；但若製造技術仍在變動中，公司可能延遲投資，寄望改良的技術會提高預期現金流與專案價值——它必須把這個好處與「不投資所放棄之現金流」的延遲成本相權衡
• 在靜態分析中讓專案較不吸引人的因素，實際上可能讓專案的權利更有價值。 以「潛在市場規模與超額報酬幅度的不確定性」為例：靜態分析中，提高這份不確定性會提高專案風險、讓它較不吸引人；把專案視為選擇權時，不確定性的增加實際上可能讓選擇權更有價值，而非更沒價值。

從 Black-Scholes 到二項式#

把 Black-Scholes 的輸入轉換成二項式模型並不難。假設乘法型二項過程（跳動幅度以百分比計逐期不變）與對稱機率，上下移動幅度為：

u = exp[ σ√dt + (r − y − σ²/2) × dt ]
d = exp[ −σ√dt + (r − y − σ²/2) × dt ]

其中 dt = 1 / 每年期數。

以範例 28.1（標準差 42%、無風險利率 5%、股利殖利率 20%、每年一期）為例：

u = 1.1994
d = 0.5178

上移後的價值 = 33.5 × 1.1994 = $4,017.9 萬
下移後的價值 = 33.5 × 0.5178 = $1,734.5 萬

（注意 $1,734.5 萬以 19.94% 成長，恰等於 $4,017.9 萬下跌 48.22%。）五期二項樹估得的選擇權價值為 $102 萬，略高於 Black-Scholes 的 $101.9 萬。差距會隨選擇權越價內、以及你在二項式模型中縮短期間長度而收斂。

評價專利#

科技與製藥業的許多公司可以為產品或服務申請專利。產品專利賦予公司開發與行銷該產品的獨家權利，因此可以被視為選擇權。

只有在「產品銷售之預期現金流的現值超過開發成本」時，公司才會去開發專利；否則公司可以把專利束之高閣、不再產生任何成本：

擁有產品專利的損益 = V − I   若 V > I
                   = 0        若 V ≤ I

因此產品專利可視為買權，標的資產就是該產品。

範例 28.2：評價一項專利——Avonex（1997）

Biogen 是一家生技公司，握有已獲 FDA 核准用於治療多發性硬化症（MS）的藥物 Avonex 的專利。假設：

• 依潛在市場與公司可預期收取的價格，對該藥今日財務可行性的內部分析得出現金流現值 $34.22 億（尚未考慮初始開發成本）
• 若今日推出，商業化開發成本估計為 $28.75 億
• 公司對該藥的專利還有 17 年，當時長期公債利率 6.7%
• 上市生技公司的公司價值平均變異數為 0.224

假設超額報酬只存在於專利期內、之後競爭會消除超額報酬。因此一旦藥物變得可行，任何延遲推出都會讓公司損失一年受專利保護的報酬（第一年延遲成本 1/17，次年 1/16，再次年 1/15……）。

S = 立即推出的現金流現值 = $34.22 億
K = 今日商業化開發成本 = $28.75 億
t = 專利年限 = 17 年
r = 6.7%（17 年期公債利率）
σ² = 0.224
y = 預期延遲成本 = 1/17 = 5.89%

d₁ = 1.1362   N(d₁) = 0.8720
d₂ = −0.8512  N(d₂) = 0.2076

專利價值 = 3,422 × e^(−0.0589×17) × 0.8720 − 2,875 × e^(−0.067×17) × 0.2076
         = $9.07 億

（二項式模型估得 $9.15 億。）

對照之下，本專案的淨現值僅 $5.47 億：

NPV = $34.22 億 − $28.75 億 = $5.47 億

但延遲成本會逐年上升，使未來各年的履約（開發）更可能發生。 此外，若有競爭者在研發治療 MS 的類似藥物，Biogen 可能會發現等待的成本高到令人卻步，因而立刻開發。

專利剩餘年限的影響：假設其他輸入不變、只改變專利年限。剩 16 年時，延遲成本上升為 1/16；現金流現值（S）的下降與延遲成本（y）的上升，都會壓低專利的預期價值。

依此分析，若其他條件不變，當專利剩餘年限少於 12 年時，Avonex 作為商業產品的價值會超過它作為專利的價值——那也就是商業化開發的最適時點。

前一節採取的觀點是：公司在專利期內免於競爭。這一般只對「被專利的產品或流程」成立，公司仍可能面對其他公司針對同一市場推出自家產品的競爭——Biogen 可以為 Avonex 申請專利，但默克（Merck）或輝瑞（Pfizer）可以推出自己的 MS 藥物與它競爭。

對專利作為選擇權的價值有什麼意涵？ 首先，選擇權年限不再是專利年限，而是公司相信自己在競爭產品被開發出來之前所擁有的領先時間。 例如 Biogen 若知道另一家藥廠正在研發 MS 藥物、並知道那個藥處在研發管線的哪個階段（早期研究或 FDA 核准流程的某一步），它就可以用「該藥獲准使用還需多久」的估計作為選擇權年限。這會降低選擇權的價值，並使該藥更可能較早而非較晚被商業化開發。

這些競爭壓力的存在，或許可以解釋為什麼某些藥物的商業化開發遠比其他藥物快，以及為什麼專利的價值未必總是大於折現現金流評價。 一般而言，研發管線中競爭產品越多，選擇權定價模型算出的價值大於傳統 DCF 模型的可能性就越低。

評價擁有專利的公司#

公司價值 = 已商業化產品的價值
         + 已擁有但尚未商業化開發之專利的價值
         + (未來可望從研究中取得之新專利的預期價值 − 取得這些專利的成本)

• 第一部分：既有產品在其商業壽命內的預期現金流，以適當資金成本折現
• 第二部分：用前述選擇權定價模型逐項評價每個專利
• 第三部分：基於對公司研究能力的認知。在「未來研發的預期成本恰等於該研究所產生之專利價值」的特例下，這一項為零；更一般的情況下，有創造研究價值歷史的公司，這一項為正。也存在「持續研究反而毀滅價值」的可能——研究成本超過所創造的價值

因此實質選擇權法應該用於「只有一兩項專利、既有資產不多」的小公司（1997 年的 Biogen 就是好例子）；對已有大量既有資產與數十項專利的成熟公司，折現現金流評價是更務實的選擇。

授權金現值 = $50M × (1 − 1.07^−12) / 0.07 = $3.9713 億

公司價值 = $3.9713 億（商業產品）+ $9.07 億（未開發專利）+ $3.183 億（未來研發）
         = $16.2243 億

每股價值 = 1,622.43 / 35.5 = $45.70

上述評價假設超額報酬只限於專利期、且在專利到期的瞬間消失。但在製藥業，專利到期未必意味著超額報酬的喪失——事實上，許多公司在專利到期後仍能為其產品收取溢價、賺取超額報酬，這在很大程度上是它們在專案期間建立起的品牌形象所致。

簡單的調整方式是提高現金流現值（S）並降低延遲成本（y）以反映這個現實。淨效果是：公司更可能延遲商業化開發，一邊等待蒐集更多資訊、評估市場需求。

另一件可能提高專利價值的事，是製藥公司展現出的「遊說立委或運用法律體系延長獲利藥物專利年限」的能力。若把這視為評價專利時的一個可能性，它會拉長專利的預期年限與其作為選擇權的價值。

天然資源選擇權#

石油與礦業等天然資源公司，從既有蘊藏產生現金流，同時也擁有可以選擇是否開發的未開發蘊藏。資源價格（石油、黃金、銅等）上漲時，它們開發這些蘊藏的可能性大得多——因此未開發蘊藏可以被視為買權。

天然資源投資的損益 = V − X   若 V > X
                   = 0        若 V ≤ X

輸入變數#

簡單的調整方式是：把已開發蘊藏的價值扣掉開發期間的現金流損失。 例如有一年的開發時滯，就估算該年可賺得的現金流佔蘊藏價值的百分比，再用該比率把已開發蘊藏的現值折現。這相當於從投資分析中移除第一年的現金流、壓低現金流的現值。

標的資產現值 = 已開發蘊藏價值 / (1 + 淨生產收入率)^開發時滯
             = ($12 × 50) / 1.05² = $5.4422 億

履約價 = 開發蘊藏的成本 = $6 億
到期時間 = 20 年
變異數 = 0.03
無風險利率 = 8%
股利殖利率 = 淨生產收入 / 蘊藏價值 = 5%

d₁ = 1.0359   N(d₁) = 0.8498
d₂ = 0.2613   N(d₂) = 0.6030

買權價值 = 544.22 × e^(−0.05×20) × 0.8498 − 600 × e^(−0.08×20) × 0.6030
         = $9,708 萬

標的資產價值 = 3,038 × ($22.38 − $7) / 1.05² = $423.8044 億

履約價 = 今日開發蘊藏的估計成本 = $303.80 億
到期時間 = 交還選擇權的平均年限 = 12 年
變異數 = 油價變異數 = 0.03
無風險利率 = 9%
股利殖利率 = 淨生產收入 / 已開發蘊藏價值 = 5%

d₁ = 1.6548   N(d₁) = 0.9510
d₂ = 1.0548   N(d₂) = 0.8542

買權價值 = 42,380.44 × e^(−0.05×12) × 0.9510 − 30,380 × e^(−0.09×12) × 0.8542
         = $133.06 億

已開發蘊藏價值 = 915 × (1 − 1.125^−10) / 0.125 = $50.6583 億