一般而言，任何資產的價值是其預期現金流的現值。本章討論這條規則的一個例外——具有兩項特定特徵的資產：

1. 它們的價值衍生自其他資產的價值，因而是衍生性資產（derivative assets）。
2. 它們的現金流取決於特定事件是否發生。

這類資產稱為選擇權（options），而其預期現金流的現值會低估它們的真實價值。

選擇權定價的基礎#

選擇權賦予持有人一項權利，可在到期日或之前，以固定價格（履約價）買進或賣出特定數量的標的資產。由於這是權利而非義務，持有人可以選擇不行使，讓選擇權到期作廢。

買權與賣權#

• 買權（call option） 賦予買方在到期日之前，以履約價買進標的資產的權利，買方為此支付一筆價格。

  • 到期時若資產價值低於履約價 → 不行使，作廢。
  • 到期時若資產價值高於履約價 → 行使；買方以履約價買進股票，資產價值與履約價的差額構成毛利。淨利則是毛利減去最初支付的買權價格。

• 賣權（put option） 賦予買方在到期日之前，以履約價賣出標的資產的權利。

  • 標的資產價格高於履約價 → 不行使，作廢。
  • 標的資產價格低於履約價 → 行使；持有人以履約價賣出股票，履約價與資產市值的差額為毛利。扣掉最初支付的賣權價格即為淨利。

決定選擇權價值的六個變數#

1. 標的資產的現值 選擇權的價值衍生自標的資產。買權提供以固定價格買進的權利，因此資產價值上升會提高買權價值；賣權則隨資產價值上升而變得較不值錢。

2. 標的資產價值的變異數 變異數越高，選擇權價值越大——買權與賣權皆然。

   「風險衡量（變異數）上升竟然會提高價值」看似違反直覺，但選擇權與其他證券不同：選擇權的買方損失絕不會超過所支付的價格，卻有從大幅價格波動中賺取可觀報酬的潛力。

3. 標的資產支付的股利 若選擇權存續期間標的資產發放股利，其價值可預期會下降。因此買權價值是預期股利大小的遞減函數，賣權價值是其遞增函數。

   對買權而言，更直覺的想法是把股利視為「延後行使價內選擇權的成本」：一旦買權處於價內，行使它就能取得股票並享有後續期間的股利；延後行使就意味著放棄這些股利。

4. 選擇權的履約價 買權持有人取得以固定價格買進的權利，因此買權價值隨履約價上升而下降；賣權持有人有以固定價格賣出的權利，因此賣權價值隨履約價上升而上升。

5. 距到期的時間 買權與賣權都是到期時間越長越值錢：更長的時間讓標的資產價值有更多移動空間，兩類選擇權價值皆提高。此外對買權而言，買方有權在到期時支付固定價格，該固定價格的現值隨選擇權年限拉長而下降，進一步提高買權價值。

6. 對應選擇權存續期的無風險利率 選擇權買方預先支付權利金，涉及機會成本，其大小取決於利率水準與到期時間。計算履約價現值時無風險利率也會進入評價（因為買權的履約價要到到期才支付、賣權才收取）。利率上升會提高買權價值、降低賣權價值。

變數對買權與賣權價格的影響

美式 vs. 歐式選擇權#

主要區別在於：美式選擇權可在到期前任何時點行使，歐式選擇權只能在到期時行使。

• 提前行使的可能性使美式選擇權比條件相似的歐式選擇權更有價值。
• 但這也使它們更難評價。

有一個抵銷因素，讓美式選擇權可以用為歐式設計的模型來評價：多數情況下，剩餘存續期所帶來的時間溢價與交易成本，使提前行使成為次佳選擇。

換言之，價內選擇權的持有人，把選擇權賣給別人通常比行使它划算得多。

選擇權定價模型#

自 1972 年布萊克（Fischer Black）與休斯（Myron Scholes）發表其開創性論文——為受股利保護的歐式選擇權提供評價模型——以來，選擇權定價理論已有長足進展。

他們的做法是使用複製組合（replicating portfolio）：一個由標的資產與無風險資產構成、與被評價選擇權具有相同現金流的組合，再結合套利概念得出最終公式。他們的推導在數學上相當複雜，但有一個運用相同邏輯的較簡單模型——二項式模型。

二項式模型#

二項式選擇權定價模型建立在一個簡單的資產價格過程設定上：資產在任一期間只能移動到兩個可能價格之一。設 S 為現行股價，在任一期間以機率 p 上漲至 Su，以機率 1 − p 下跌至 Sd。

建立複製組合：目標是用「無風險借貸」與「標的資產」的組合，創造出與被評價選擇權相同的現金流。此時套利原則適用，選擇權價值必須等於複製組合的價值。

對履約價為 K 的買權，複製組合涉及借入 $B 並取得 Δ 單位的標的資產：

Δ = (C_u − C_d) / (S_u − S_d)

  C_u = 股價為 S_u 時的買權價值
  C_d = 股價為 S_d 時的買權價值

在多期二項式過程中，評價必須反覆迭代進行——從最後一期出發，向前回推到當下。每一步都建立並評價複製選擇權的組合，提供該期的選擇權價值。

最終輸出是：選擇權價值可表達為由 Δ 股標的資產（選擇權 delta） 與無風險借貸構成的複製組合的價值。

範例 5.1：二項式選擇權評價

假設要評價一個履約價 $50、兩期後到期的買權，標的資產現價 $50，利率 11%。定義 Δ 為複製組合中的股數，B 為複製組合中的借款金額。做法是從最後一期開始，沿二項式樹向前回推。

步驟一：從末端節點開始向後推

若 t = 1 時股價為 $70：借入 $45 並買進一股，會得到與買進買權相同的現金流。因此

買權價值 = 70 × 1 − 36.04 = $33.96

考慮 t = 1 的另一支：若股價為 $35，

買權價值 = 35 × 0.4 − 9.01 = $4.99

步驟二：回推到更早的期間

借入 $21.61 並買進 0.8278 股，會在買權存續期內提供與該買權相同的現金流。因此買權價值必須等於建立此部位的成本：

買權價值 = 現行股價 × (5/7) − 借款
        = 50 × (5/7) − 21.61 = $19.42

二項式模型揭示的價值決定因素：

若選擇權價值偏離複製組合的價值，投資人就能建立套利部位（無需投入資金、無風險、卻能交付正報酬）。例如若複製買權的組合成本高於市場上的買權價格，投資人可以買進買權、賣出複製組合，並保證賺得差額——兩個部位的現金流會互相抵銷，後續期間不再有現金流。

買權價值也會隨到期時間延長、價格波動幅度（u 與 d）增大、以及利率上升而提高。

二項式模型雖提供了價值決定因素的直覺，但它需要大量輸入值——每個節點的預期未來價格。

當二項式模型的期間被縮短時，對資產價格可做兩種假設之一：

• 價格變動隨期間縮短而變小 → 期間趨近於零時價格變動趨近於無窮小，導出連續價格過程（→ Black-Scholes 模型）。
• 即使期間縮短，價格變動仍然很大 → 導出跳躍價格過程，價格可在任一期間跳躍（→ 跳躍過程模型）。

Black-Scholes 模型#

當價格過程是連續的時，二項式模型會收斂到 Black-Scholes 模型。該模型讓我們能用少數幾個輸入值估計任何選擇權的價值，且已被證明在評價許多掛牌選擇權時相當穩健。

買權價值 = S × N(d₁) − K × e^(−rt) × N(d₂)

d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2) × t] / (σ × √t)
d₂ = d₁ − σ × √t

  S  = 標的資產現值
  K  = 選擇權履約價
  t  = 距到期時間
  r  = 對應選擇權存續期的無風險利率
  σ² = 標的資產 ln(價值) 的變異數

• e^(−rt) 是現值因子，反映買權的履約價要到到期才需支付（該模型評價的是歐式選擇權）。
• N(d₁) 與 N(d₂) 是機率，用累積標準常態分配估計。
• 概略而言，N(d₂) 給出的是「選擇權在行使時將為持有人產生正現金流的可能性」（買權為 S > K，賣權為 K > S）。
• 複製買權的組合，是買進 N(d₁) 單位的標的資產，並借入 K·e^(−rt)·N(d₂)。N(d₁) 就是選擇權 delta——建立複製組合所需的標的資產單位數。

1. 連續時間 vs. 離散時間：模型運作在連續時間，因此使用連續時間版本的現值 e^(−rt) 而非離散版本 (1+r)^(−t)。無風險利率等輸入也必須轉為連續時間形式：

   連續無風險利率 = ln(1 + 年利率)
   例：ln(1.062) = 0.0615，即 6.15%

2. 估計輸入值的期間：變異數也必須是年化變異數。由於序列相關為零時變異數對時間呈線性，用月資料或週資料估計的變異數，分別乘以 12 或 52 即可年化。

S = $13.62，K = $15，t = 103/365 = 0.2822，σ = 81%，r = 4.63%

d₁ = [ln(13.62/15) + (0.0463 + 0.81²/2) × 0.2822] / (0.81 × √0.2822) = 0.0212
d₂ = 0.0212 − 0.81 × √0.2822

N(d₁) = 0.5085
N(d₂) = 0.3412

買權價值 = 13.62 × 0.5085 − 15 × e^(−0.0463 × 0.2822) × 0.3412 = $1.87

Black-Scholes 中唯一可能讓投資人有重大歧見的輸入值就是變異數。變異數常以歷史資料估計，但用歷史變異數算出的選擇權價值可能與市價不同。對任何選擇權而言，總存在某個變異數，使估計價值恰好等於市價——這就是隱含變異數（隱含波動度）。

以前述思科買權為例：標準差 81% 時算出 $1.87；由於市價較高，往上試更高的標準差，在 85.40% 時價值恰為 $2（即市價）。

模型的限制與修正#

Black-Scholes 是為「只能在到期時行使、且標的資產不發股利」的歐式選擇權設計的，並假設行使選擇權不影響標的資產價值。但實務上：資產會發股利、選擇權有時被提前行使、行使也可能影響標的資產價值。以下是（雖不完美但）能部分修正的調整。

股利#

發放股利會壓低股價（除息日股價通常下跌），因此預期股利增加會使買權變得較不值錢、賣權更值錢。有兩種處理方式：

1. 短期選擇權：估計選擇權存續期內預期股利的現值，從資產現值中扣除，作為模型的 S。

   調整後股價 = 現行股價 − 選擇權存續期內預期股利的現值

2. 長期選擇權：選擇權年限越長，估計股利現值越不切實際。若標的資產的股利殖利率 y（股利／資產現值）預期在存續期內維持不變，可修改模型：

   買權價值 = S × e^(−yt) × N(d₁) − K × e^(−rt) × N(d₂)
   
   d₁ = [ln(S/K) + (r − y + σ²/2) × t] / (σ × √t)
   d₂ = d₁ − σ × √t

從直覺看，這項調整有兩個效果：

1. 資產價值以股利殖利率折現回現在，以考慮股利支付所導致的資產價值預期下跌。
2. 利率被股利殖利率抵銷，以反映（在複製組合中）持有該資產較低的持有成本。

淨效果是：用此模型估計的買權價值會下降。

預期股利現值 = 0.15 / 1.0463^(23/365) = $0.15
股利調整後股價 = 20.50 − 0.15 = $20.35
t = 103/365 = 0.2822，σ² = 0.6² = 0.36，r = 4.63%

d₁ = 0.2551   N(d₁) = 0.6007
d₂ = −0.0636  N(d₂) = 0.4745

買權價值 = 20.35 × 0.6007 − 20 × e^(−0.0463 × 0.2822) × 0.4746 = $2.86

d₁ = [ln(20.50/20) + (0.0485 − 0.0251 + 0.6²/2) × 1.8333] / (0.6 × √1.8333) = 0.4894
     N(d₁) = 0.6877
d₂ = 0.4894 − 0.6 × √1.8333 = 0.3230
     N(d₂) = 0.3733

買權價值 = 20.50 × e^(−0.0251 × 1.8333) × 0.6877 − 20 × e^(−0.0485 × 1.8333) × 0.3733 = $6.63

提前行使#

實務上遇到的多數選擇權是美式選擇權，可在到期前任何時點行使。一般而言，就交易型選擇權來說，把選擇權賣給別人幾乎總是優於提前行使，因為選擇權有時間溢價（售價高於其行使價值）。但有兩個例外：

• 標的資產發放大額股利，因而降低資產的預期價值。此時若選擇權的時間溢價小於股利支付導致的資產價值預期跌幅，買權可能會在除息日前夕被行使。
• 投資人同時持有標的資產與深度價內賣權（履約價遠高於標的現價），且此時利率很高。此時賣權的時間溢價可能小於「提前行使賣權並就履約價賺取利息」的潛在利得。

處理提前行使有兩種基本方式：

• 繼續使用未調整的 Black-Scholes，把結果視為真實價值的下限或保守估計。
• 嘗試針對提前行使可能性調整選擇權價值，有兩種做法：

做法一：擬美式評價（pseudo-American valuation）

1. 界定股利何時支付、金額多少。
2. 用前述股利調整法（股價減去預期股利現值），評價到每一個除息日的買權。
3. 取各除息日所估買權價值中的最大值。

調整後股價 = 40 − 0.80/1.04^(1/12) = $39.20
K = $35, t = 4/12

調整後股價 = 40 − 0.80/1.04^(1/12) − 0.80/1.04^(4/12) = $38.41
K = $35, t = 7/12

調整後股價 = 40 − 0.80/1.04^(1/12) − 0.80/1.04^(4/12) − 0.80/1.04^(7/12) = $37.63
K = $35, t = 8/12

做法二：使用二項式模型

二項式模型最大的限制是決定各期末的股價，但可用「從估計變異數推導漲跌幅」的變形來克服。四個步驟：

【步驟 1】把 Black-Scholes 的 ln(股價) 變異數轉換為二項式模型輸入：

u = exp[σ√dt × (r − σ²/2) × dt]
d = exp[−σ√dt × (r − σ²/2) × dt]

  u、d = 單位時間的漲、跌幅
  dt   = 每年（或單位時間）內的期數

• 步驟 2：指定股利支付的期間，並假設價格在該期間下跌股利的金額。
• 步驟 3：在樹的每個節點評價買權，允許在除息日前夕提前行使的可能性。當選擇權剩餘時間溢價小於股利支付導致的選擇權價值預期跌幅時，就會發生提前行使。
• 步驟 4：用標準二項式方法評價 t = 0 時的買權。

範例：從 Black-Scholes 輸入建構二項式樹

假設某資產現價 $30，年化標準差 40%，年化無風險利率 5%。選擇權存續期 4 年，每期為一年：

u = exp[0.40 × √1 × (0.05 − 0.4²/2)] = 1.4477
d = exp[−0.40 × √1 × (0.05 − 0.4²/2)] = 0.6505

第一年末：
  上漲價格 = 30 × 1.4477 = $43.43
  下跌價格 = 30 × 0.6505 = $19.52

依此推進即可完成整棵樹。

行使對標的資產價值的影響#

Black-Scholes 假設行使選擇權不影響標的資產價值。這對掛牌股票選擇權或許成立，但對某些選擇權則否——例如認股權證（warrants）的行使會增加在外流通股數，並為公司帶入新現金，兩者都會影響股價。

行使所帶來的預期負面衝擊（稀釋，dilution），會使認股權證的價值低於條件相似的買權。

稀釋調整相當簡單——把股價調整為反映選擇權行使的預期稀釋：

稀釋調整後 S = (S × n_S + W × n_w) / (n_S + n_w)

  S   = 股票現值
  n_w = 在外流通認股權證數量
  W   = 在外流通認股權證價值
  n_S = 在外流通股數

分子反映的是股權市值（同時包含在外流通的股票與認股權證）；認股權證被行使時股數增加，壓低股價，S 的下降會降低買權價值。

這個分析存在循環性：需要認股權證價值才能估計稀釋調整後的 S，但又需要稀釋調整後的 S 才能估計認股權證價值。

解法是迭代：先以某個假設的認股權證價值（例如其行使價值或現行市價）啟動流程，得出一個認股權證價值，再把該估計值當作輸入重新估計，直到收斂為止。

調整後 S = (0.38 × 19.637 + 0.12 × 1.8) / (19.637 + 1.8) = $0.3544
K = $2.25，t = 4 年，r = 4.9%，σ² = 0.93，y = 0%

d₁ = 0.0418   N(d₁) = 0.5167
d₂ = −1.8182  N(d₂) = 0.0345

買權價值 = 0.3544 × 0.5167 − 2.25 × e^(−0.049 × 4.00) × 0.0345 = $0.12

用 Black-Scholes 評價賣權#

賣權的價值可從相同履約價與到期日的買權價值推導出來：

買權 − 賣權 = S − K × e^(−rt)

這個關係稱為買賣權平價（put-call parity），任何對平價的偏離都能被投資人用來賺取無風險利潤。

S + P − C = K × e^(−rt)
C − P = S − K × e^(−rt)

把 Black-Scholes 的買權公式代入，得到賣權價值：

賣權價值 = K × e^(−rt) × [1 − N(d₂)] − S × e^(−yt) × [1 − N(d₁)]

d₁ = [ln(S/K) + (r − y + σ²/2) × t] / (σ × √t)
d₂ = d₁ − σ × √t

因此，複製賣權的組合是：放空 [1 − N(d₁)] 股股票，並把 K·e^(−rt)·[1 − N(d₂)] 投資於無風險資產。

賣權價值 = C − S + K × e^(−rt)
        = 1.87 − 13.62 + 15 × e^(−0.0463 × 0.2822) = $3.06

賣權價值 = C − S × e^(−yt) + K × e^(−rt)
        = 6.63 − 20.5 × e^(−0.0251 × 1.8333) + 15 × e^(−0.0485 × 1.8333) = $5.35

跳躍過程選擇權定價模型#

若二項式模型的期間縮短時價格變動仍然很大，就不能再假設價格連續變動；此時允許價格跳躍的價格過程要真實得多。

• Cox 與 Ross（1976）：在價格遵循純跳躍過程（跳躍只能為正）時評價選擇權。在下一個區間，股價要嘛以特定機率出現大幅正跳躍，要嘛以給定速率向下漂移。
• Merton（1976）：考慮在連續價格過程上疊加價格跳躍的分配，指定跳躍發生的速率（λ）與平均跳躍幅度（k，以股價百分比衡量），推導出的模型稱為跳躍擴散模型（jump diffusion model）。此模型的選擇權價值由 Black-Scholes 的五個變數加上跳躍過程參數（λ、k）決定。

選擇權定價的延伸#

前述所有模型（二項式、Black-Scholes、跳躍過程）都是為履約價與到期日明確、且標的資產可交易的選擇權設計的。然而，我們在投資分析或評價中遇到的選擇權，標的往往是實質資產而非金融資產——這類實質選擇權的形式可能複雜得多。

上限型與障礙型選擇權#

簡單買權的獲利在理論上沒有上限：資產價格可以一直上漲，報償等比例增加。但在某些買權中，買方只能享有到某個特定價格為止的利潤。

設某資產買權履約價為 K₁。在無限制的買權中，標的資產價格超過 K₁ 後報償隨之增加；但假設價格達到 K₂ 時，報償被封頂在 (K₂ − K₁)——這就是上限買權（capped call）。

一旦價格達到 K₂，該選擇權不再有任何時間溢價，因此會被行使。

上限買權屬於**障礙型選擇權（barrier options）**家族——這類選擇權的報償與存續期，取決於標的資產價格在特定期間內是否觸及某個水準。

上限買權的價值永遠低於相同但無報償上限的買權。 一個簡單的近似做法是把買權評價兩次（一次用給定履約價、一次用上限價），取兩者差額：

上限買權價值 = 買權價值(K = K₁) − 買權價值(K = K₂)

障礙型選擇權形式眾多。在**敲出選擇權（knockout option）**中，標的資產達到某價格時選擇權即不再存在：

• 買權：敲出價通常設在履約價之下，稱為**下降敲出（down-and-out）**選擇權。
• 賣權：敲出價設在履約價之上，稱為**上升敲出（up-and-out）**選擇權。

與上限買權一樣，這些選擇權的價值低於無限制的對應版本。許多實質選擇權都有潛在上檔的限制或敲出條款，忽略這些限制會導致高估這些選擇權的價值。

複合選擇權#

有些選擇權的價值並非衍生自標的資產，而是衍生自其他選擇權，稱為複合選擇權（compound options）。它可以有四種形式：買權的買權、賣權的賣權、賣權的買權、買權的賣權。Geske（1979）以二元常態分配取代簡單選擇權模型中的標準常態分配，發展出評價複合選擇權的解析公式。

第 30 章會把「擴張專案的選擇權」當作實質選擇權來評價。雖然屆時使用簡單選擇權定價模型，但現實中擴張可能有多個階段，每個階段都代表下一階段的選擇權。此時把它當作簡單而非複合選擇權，會低估該選擇權的價值。

話雖如此，隨著鏈條上的選擇權越加越多，複合選擇權的評價會越來越困難。此時與其讓評價撞上估計誤差的暗礁，不如接受簡單評價模型所提供的保守估計作為價值的下限。

彩虹選擇權#

簡單選擇權的不確定性只來自標的資產的價格。有些選擇權則暴露於兩個或更多不確定性來源，稱為彩虹選擇權（rainbow options）。用簡單選擇權定價模型評價這類選擇權，會導致有偏誤的價值估計。

以未開發油藏為例：持有該油藏的公司有權開發它。此處有兩個不確定性來源：

1. 油價
2. 油藏中的石油數量

要評價這個未開發油藏，我們可以做簡化假設，當作已確知油藏中的石油數量。但現實中，數量的不確定性會影響這個選擇權的價值，並使行使的決策更加困難。

結論#

選擇權是一種報償取決於標的資產價值的資產：

• 買權賦予持有人以固定價格買進標的資產的權利。
• 賣權賦予持有人以固定價格賣出的權利。
• 兩者都可在選擇權到期前的任何時點行使（美式）。

選擇權的價值由六個變數決定：標的資產現值、該價值的變異數、資產的預期股利、選擇權的履約價與存續期、以及無風險利率。

二項式模型與 Black-Scholes 模型都體現了這一點——兩者都藉由建立「由標的資產與無風險借貸構成的複製組合」來評價選擇權。這些模型可以用來評價任何具有選擇權特徵的資產。