Mathematics

一鳥在手：兩千六百年前的投資公式#

伊索寓言〈鷹與夜鶯〉中，老鷹抓住夜鶯後說：「為了追逐看不到的鳥而放棄手中的食物，那才叫失去理智。」這就是後世「一鳥在手勝於兩鳥在林」的源頭。

巴菲特把這個古老智慧改寫成投資公式：

「我們評估股票與企業的公式是相同的。事實上，自從西元前 600 年那位聰明人首次提出後，所有為財務目的而購買的資產，其評估公式從未改變。那位先知是伊索。要把他的洞見落地，你只需回答三個問題：
林子裡是否確實有鳥？確定的程度有多高？
牠們何時飛出來？會飛出幾隻？
無風險利率是多少？
答出這三個問題，你就知道整片林子（資產）的最大價值——以及你應該以多少手中之鳥（資金）去交換它。當然，不要把它真的當成鳥，要把它當成美元。」

巴菲特強調，這個公式從蒸汽機、電力、汽車、飛機到網路時代都沒變。投資人要做的，只是把正確的數字代入，所有投資機會的吸引力就會被排序出來。

本章將深入幾個對投資至關重要的數學工具：

折現現金流（DCF）
機率論
變異與分布偏態
均值回歸（regression to the mean）
風險與不確定性的差別

John Burr Williams 與折現現金流#

1923 年 John Burr Williams 進入哈佛主修數學與化學。畢業後在 1920 年代末的多頭氣氛下成為證券分析師，但他始終困惑於一件事——當時居然沒有一個系統性的框架可以判斷股票的「內在價值」。1929 年崩盤與大蕭條後，他回到哈佛攻讀經濟學博士。

論文題目由指導教授 Joseph Schumpeter（前面章節提過的熊彼得）建議：研究普通股的內在價值如何衡量。1940 年論文通過；更驚人的是，《The Theory of Investment Value》在他取得博士前兩年就已由哈佛大學出版社出版。

對抗凱因斯的「選美比賽」#

當時主流經濟學家相信股市價格由投資人對資本利得的集體預期決定——也就是凱因斯（John Maynard Keynes）的「選美比賽（beauty contest）」比喻：

投資人選股不是挑自己覺得最美的那位，而是猜大家會挑哪一位。

Williams 反對這個立場：

金融市場的價格最終是資產價值的反映，是經濟學，不是輿論。投資人不該預測股價走勢，而應聚焦於企業未來的盈餘，並以「現值法則」（rule of present worth）來決定資產的內在價值。

換言之，普通股的內在價值是其投資生命週期內所產生的未來淨現金流的現值總和。

折現現金流的計算思路#

債券的計算很單純：把所有票息與到期金額用適當利率折回現值即得價格。企業估值同理——只是把「票息」換成企業未來現金流。

但企業沒有契約義務維持固定報酬，預測本身會被經濟波動、競爭強度、產業破壞性創新左右。

巴菲特：「我寧可大致正確，也不要精準錯誤（I would rather be approximately right than precisely wrong）。」

第二階模型（低本益比、低股價淨值比、高股息率）只是 DCF 困難時的替代品，巴菲特不重視——它們只能提供相對的價值線索，不告訴你價值本身。

巴菲特自己評估企業價值的程序很單純，他常說可以在信封背面算完：

列出現金
估計企業生命週期內現金流的成長機率
把現金流折回現值

機率論：從帕斯卡到貝氏#

Pascal × Fermat：為何要計算機率#

風險的概念可上溯到八百年前的印度阿拉伯數字系統，但嚴肅的研究始於文藝復興。1654 年法國貴族 Chevalier de Méré 把一道難題拋給數學家 Blaise Pascal：

兩名玩家中途中斷遊戲，其中一人領先——賭金應該怎麼分？

Pascal 是天才神童，自己在地板瓷磚上推導出歐氏幾何，16 歲寫出令笛卡兒讚嘆的圓錐論文，18 歲開始造機械計算機（Pascaline）。他與另一位卓越律師兼數學家 Pierre de Fermat 通信討論這道題目：

Pascal 用幾何
Fermat 用代數
兩人最終共同奠定了機率論的基礎

Peter Bernstein 在《Against the Gods》一書中寫道：這些通信是「數學史與機率論史上的劃時代事件」，標誌著「決策理論（decision theory）」的誕生——在不確定的未來面前，仍能做出最佳決策的程序。

Bernoulli：自然界的機率不是賭場#

Jacob Bernoulli 區分了「博弈中的機率」與「人生決策中的機率」：

賭輪盤不必真的轉，就能算出 17 號的機率
但現實生活中的事件，相關資訊才是判斷機率的關鍵
自然界的形態只是部分被建立，因此我們得到的不是絕對的確定，而是「程度上的確定」

Bayes：用新資訊更新舊信念#

Thomas Bayes（1701–1761）是長老會牧師兼數學家，1742 年因匿名捍衛牛頓微積分被選入皇家學會。他生前唯一未發表的數學論文〈Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances〉於死後兩年由 Richard Price 寄出，1764 年由皇家學會發表。

Bayes 定理的核心極為簡單：

初始信念 + 新的客觀資料 = 修正後的新信念
後人為各個部位命名：
先驗（priori）：原本信念的機率
似然（likelihood）：根據新資料計算新假設的機率
後驗（posterior）：經修正後的新機率
每一輪更新後，這次的後驗成為下一輪的先驗——一個逐步逼近確定的演化系統。達爾文會微笑。

一個簡單例子#

你要賭擲一顆骰子會擲出 6：

原本機率 1/6 ≈ 16%
朋友偷看後說：「是偶數」→ 更新為 1/3 ≈ 33%
又補一句：「不是 4」→ 更新為 1/2 = 50%

這就是 Bayesian 分析。每一筆新資訊都改寫了原先的機率。商學院常稱之為「決策樹理論（decision tree theory）」。蒙格說：「在哈佛商學院，決策樹理論是綁住一年級全班的關鍵量化工具。學生發現高中代數真的能用來解決現實問題——他們覺得很驚訝。」

把 Bayes 放進 DCF#

DCF 的兩個老問題：

預測未來困難
它假設成長率在折現年限內維持不變，與真實非線性世界相悖

解法是把決策樹延伸成多個情境組合：

假設一家過去現金成長 10% 的公司，未來五年：50% 機率維持 10%、25% 機率 12%、25% 機率 8%
第六到第八年：50% 機率 8%、25% 機率 6%、25% 機率 10%
第九、第十年再次調整

兩種機率詮釋#

頻率機率（frequency probabilities）：可由大量、長期資料生成，例如骰子、輪盤、車禍率、壽命
主觀機率（subjective probabilities，又稱 evidential probabilities）：當缺乏足夠樣本與時間時的合理估計

主觀機率非常容易摻入個人偏見。每次使用時都要警覺：行為金融的所有偏誤都可能在這裡顯現。決策樹的好壞取決於輸入；而靜態、不更新的機率毫無價值——只有不斷以客觀資料更新的決策樹才管用。

Kelly 準則：下注比例怎麼算#

1956 年，貝爾實驗室的 James Larry Kelly Jr. 借用同事 Claude Shannon 的通訊理論，導出了一個下注比例的公式。發表於《Bell System Technical Journal》的〈A New Interpretation of Information Rate〉，被稱為「Kelly 準則」（Kelly Criterion）：

$$2p - 1 = x$$

其中 p 是勝率，x 是應投注本金的比例。

勝率 55% → 投入 10%
勝率 70% → 投入 40%
勝率 100% → 全壓

數學家、賭場高手、避險基金經理人 Ed Thorp 是把 Kelly 用在 21 點與股市的先驅：

1959–1961 年在 MIT 用 FORTRAN 寫程式驗證 Kelly 在 21 點的可行性
簡單規則：高牌（10、人頭、A）記 −1，低牌記 +1；牌堆越正，玩家優勢越高
攜 1 萬美元到拉斯維加斯，第一個週末翻倍；很快被 casino 趕出
與 Shannon 共同設計穿戴式電腦玩輪盤——後來被定義為違法
1962 年寫成《Beat the Dealer》，紐時暢銷書，銷量逾 70 萬

兩個常被忽略的前提#

Kelly 公式在理論上最佳有兩個前提：
無上限資金
無限時間
真實投資人兩者皆無，因此必須做修正。

用半 Kelly / 分數 Kelly 留安全邊際#

過度下注的代價遠大於少下注的代價。實務上常用：

Half-Kelly：Kelly 給出 10%，實際只投 5%
Fractional Kelly：投 2% 之類更小比例

Kelly 模型的關係是拋物線——下注減半（−50%）只會讓潛在成長率下降約 25%。這給了投資組合一道安全邊際，加上選股本身的安全邊際，形成雙層保護與真實的心理舒適度。
Ed Thorp：「Kelly 系統適合那些只想長期讓資本複利成長的人。如果你有時間、有耐性，這就是對的工具。」

Stephen Jay Gould 與「中位數的迷思」#

40 歲時，演化生物學家 Stephen Jay Gould 被診斷出腹膜間皮瘤（abdominal mesothelioma），中位數存活期只有 8 個月。他到哈佛 Countway 醫學圖書館查資料時讀到這個事實後愣住、然後微笑——因為他是演化生物學家。

「中位數 8 個月」不是說他會在 8 個月內死亡，而是患者中半數死於 8 個月內、半數死於 8 個月之後。集中趨勢有三種測量：
平均數（mean）：總和 ÷ 個數
中位數（median）：排序中央值
眾數（mode）：最常出現的值

Gould 進一步發現患者壽命分佈是右偏（right-skewed）——超過 8 個月的患者活得遠遠更久。導致偏態的就是「變異（variation）」。

Gould 的個人條件——年輕、整體健康、診斷早——把他放在右偏分佈的最右側。事實上他多活了 20 年。

Gould：「我們的文化內建了一種強烈偏誤——忽視變異、執著於集中趨勢，結果犯下許多代價昂貴的錯誤。」

把這個洞見搬進股市#

投資人最該學到的，是區分：

系統的趨勢（trend of the system）
系統內的趨勢（trends in the system）

也就是說——市場平均報酬 vs. 個股的表現變異。

研究 1975–1982 的 sideways market（橫盤行情）：

1975 年 10 月 1 日道瓊收 784
1982 年 8 月 6 日道瓊收 784
七年間表面上沒變化，本益比卻從 12 倍降到 7 倍

但若進一步檢視 500 大股票：

任一年漲超過 100% 的股票只佔 3%
三年滾動下，平均 18.6%（500 中的 93 檔）翻倍
五年滾動下，平均38%（500 中 190 檔）翻倍

巴菲特 1975–1982 年累積報酬 676%；他的同學 Bill Ruane（Sequoia 基金）累積報酬 415%。Gould 的觀點解釋了為什麼——橫盤的是平均，但變異還在系統裡，仍提供大量超額報酬機會。

Gould：「在達爾文的世界裡，變異是根本現實，平均不過是抽象。」

均值回歸：Galton 的發現#

Graham 與 Dodd 在《Security Analysis》第一頁引用古羅馬詩人 Horace（Quintus Horatius Flaccus）：「許多現在墜落的將被恢復，許多現在受敬重的將墜落。」這正是「均值回歸」的文學化描述。

從 Quetelet 到 Galton#

均值回歸的數學發現要歸給達爾文的表親 Sir Francis Galton（前面章節提到的「猜牛體重」實驗就是他做的）。他的研究受比利時科學家 Lambert Adolphe Jacques Quetelet（1796–1874，布魯塞爾天文台創辦人，把統計方法引入社會科學）的啟發——身高、胸圍等人類特徵呈常態分佈。

Galton 的目標是寫《Hereditary Genius》：證明特殊才能來自遺傳而非教育。但常態分佈中的「偏離平均」擋住了他的路，他必須先解釋資料是如何排列的。

Quincunx、豌豆、身高#

Galton 發明了一台像沙漏的彈珠機（Quincunx）：頸部釘 20 根針，亂丟彈珠後，底部隔間中的分佈呈古典高斯形態
量秤、測量數千顆豌豆的種子大小，分送朋友按指定方式種植；後代的特徵也呈常態分佈
親子身高也呈現相同模式

Galton 命名為「回歸（reversion / regression）」：「子代理想型有偏離父代型、回歸到祖代平均型的傾向。如果不是這樣，大豌豆會生出更大豌豆、小豌豆會生出更小豌豆，世界最終只剩巨人與侏儒。」

為什麼預測仍然這麼困難#

J. P. Morgan 被問到股市未來怎麼走，他答：「It will fluctuate.」（會波動）這句話成了反向投資者的信條。但 Galton 法則若如此堅實，為什麼預測仍那麼難？挫折來自三個源頭：

回歸不是即時的：高估或低估可能持續比理性所願更久——遠遠更久
波動性極高：偏離不規則，價格不會整齊地落在平均上
平均本身會漂移：今天的「正常」不是明天的正常

物理系統的均值穩定，重複實驗一萬次都得到大致相同結果。但市場是生物系統——投資人會學習、適應、改變。

例如：

1950 年代以前，股票股息率長期高於公債殖利率（經歷過 1929 崩盤的世代要求安全溢價）
1950 年代後新世代擁抱股票，這個關係翻轉了；如果死守舊均值你會虧錢
2011 年再次出現許多股票股息率高於 10 年期美國公債——若依均值回歸換成股票，2012 年債券仍跑贏

S&P 500 也是一個達爾文式的演化系統：

每年約 75 家公司（15%）被換掉
50 年前由製造業、能源、公用事業主導
今天由科技、醫療、金融主導；後三者股東權益報酬率較高，所以指數的平均 ROE 已經向上漂移

用 Kuhn 的話說，這是「典範轉移」。均值回歸仍然是重要策略，但不是不可侵犯的鐵律——別忘了高價股可以更高、低價股可以更低，思考必須保持彈性。

風險 vs. 不確定性：Knight 與黑天鵝#

Frank H. Knight（1885–1972）是芝加哥經濟學派的奠基者，學生中包括 James Buchanan、Milton Friedman、George Stigler 三位諾貝爾獎得主。在《Risk, Uncertainty, and Profit》中他清楚區分：

風險（Risk）：結果未知，但機率分佈在事前是已知的
不確定性（Uncertainty）：結果未知，機率分佈本身也未知——既不可量化、也無法計算，只剩下一個常數：意外

Taleb 的黑天鵝#

Nassim Nicholas Taleb 在《The Black Swan》（2007）裡重新拉回 Knightian uncertainty 的視角。黑天鵝事件具備三個特徵：

是離群值，落在常態預期之外，過往無從預知
帶來極端衝擊
事後人會編造解釋，把它變成可預測、可解釋——儘管事前根本沒人預見

Taleb 提出三大訴求：
讓投資人理解「難預測、影響大、極稀有」事件的不成比例影響
用小機率分佈為基礎的科學方法說明這些事件無法被傳統工具計算
揭露我們對不確定性與歷史稀有事件的心理盲點

他用兩個地名比喻：

Mediocristan（平庸國）：常態分佈，人們對未來的預期長在這裡
Extremistan（極端國）：野生、不可預測、強力事件主導；歷史不爬，它跳

1941 年珍珠港、2001 年 911——都是真正的黑天鵝。但媒體已把這個詞泛濫化，連暴雪、地震、市場震盪都掛上黑天鵝的標籤——這些其實只是「灰天鵝」。

「Fat Tail」#

統計上對應的詞是「胖尾（fat tail）」：常態分佈中央高聳、向下展開漸薄，尾端應該漸消失；如果尾端反而膨脹，就稱為「胖」。Taleb 的黑天鵝事件以胖尾形式出現——通常被視為偏離平均超過 5 個標準差以上。

「左尾」（left-tail）保險、避險基金的「左尾」保護如今已成為投資詞彙。但作者提醒：今天任何一點偏離常態都被快速貼上「黑天鵝」與「胖尾」的標籤——這是濫用。

結語：數學的迷人陷阱#

諾貝爾獎得主 Kenneth Arrow 警告：純粹由數學驅動的風險管理方法本身就帶著自我毀滅的種子。「我們對社會與自然如何運作的知識，總是拖著一團團模糊。許多巨大的災禍都源於對確定性的篤信。」

但這不是要否定機率、變異、均值回歸與胖尾——這些工具讓我們把市場的「不確定性錐形」收窄，但無法消除。Peter Bernstein 寫道：「風險管理作為一門實務藝術，其核心是一個簡單卻深遠的事實：當這個世界被造出來時，沒有人記得把『確定性』加進去。我們從不真正確定；我們在某種程度上永遠無知。手邊許多資訊不是錯就是不完整。」

G. K. Chesterton 把投資人的處境寫得淋漓盡致：「這個世界真正的麻煩，不在於它不講理，也不在於它講理。最常見的麻煩是它幾乎講理，但又不完全講理。生活不是非邏輯的，但它是邏輯學家的陷阱。它看起來比實際上更數學、更規律；它的精確顯而易見，但它的不精確隱而不見；它的野性，潛伏在那裡。」