本附錄收錄暫存器機器（register machine）習題的解答。這些練習使用 RAP 程式（RAP program，即暫存器組合程式設計）來操作暫存器機器——一種只會做「遞增（increment）」「遞減（decrement）」與「條件跳躍」的極簡計算裝置。透過親手推演這些程式，讀者能體會最基本的計算如何從幾條笨拙的規則堆疊而成。

這些習題對應正文中關於暫存器機器的章節。若你尚未讀過相關內容，本附錄的解答會顯得抽象；建議搭配原練習的流程圖（flow graph）一起參看。

練習一：程式一的步數#

以「程式一」執行加法，計算所需步數（把 End 也算作一步）。

• a. 計算 2 + 5 = 7 需要幾步？ 答：六步。三次遞減、兩次遞增、一次 End（最後一次遞減是「歸零時分支」）。
• b. 計算 5 + 2 需要幾步？ 答：十二步。六次遞減、五次遞增、一次 End。

從 a、b 兩題可得出關鍵結論：運算元的順序會造成很大的步數差異。你或許會想訂一條規則——永遠把較小的數放進暫存器 1。但別忘了：若要先「測試」兩個數哪個較小，光是這個比較就會用掉比直接做加法還多的步數。優化本身也有成本，有時得不償失。

練習二：減法程式與防呆設計#

• a. 依流程圖寫出對應的 RAP 程式。由於程式含有分支，步驟可以有多種編號方式；只要「go to」指令都指向正確的步驟，怎麼編號都無所謂。

• b. 當程式試圖算 3 − 3 或 4 − 4 時會發生什麼？ 程式停機（halt），暫存器 4 中留下 0。
• c. 為什麼要在步驟 3 做減法「之前」把暫存器 3 歸零，而不是在步驟 4「之後」？這樣防止了什麼錯誤？ 若一開始暫存器 1 與暫存器 2 中都是 0，程式結束時可能得出無意義的答案——例如「−0」，或符號暫存器（sign register）裡出現 0 與 1 以外的怪數字。事先歸零可避免這種殘留狀態污染結果。

練習二 c 點出程式設計中反覆出現的陷阱：初始狀態的殘值。不先清乾淨暫存器就開始運算，邊界情況（如兩者皆為 0）就會冒出你意想不到的輸出。歸零的時機（先做還是後做）直接決定了程式是否正確。

練習三：乘法器#

• a. 畫出流程圖並寫出 RAP 程式，將暫存器 1 的內容乘以暫存器 3 的內容，答案放進暫存器 5。

以下兩題為選做，重點在於「不破壞輸入」這個更高的要求。

選做延伸：改良乘法器（b、c 題）

• b.（選做） 運用 Copy 與 Move 指令改良 a 題的乘法器：程式停止時，暫存器 1 與暫存器 3 的原始內容都被還原，如此一來，執行後就能輕鬆核對輸入與輸出是否正確。

• c.（選做） 畫出流程圖並寫出 RAP 程式，檢查暫存器 1 與暫存器 3 的內容（不得破壞它們！），把「內容較小者」的位址（1 或 3）寫進暫存器 2；若兩者相等，則在暫存器 2 中放入 2。 換言之，程式執行後：暫存器 1 與 3 的內容不變，而暫存器 2 會告訴你兩者是否相等，若不等則指出哪一個暫存器的內容較小。

這兩題的共通挑戰在於：暫存器機器的基本操作（遞減）本身就是破壞性的，要「讀取而不消耗」內容，就必須先把內容搬走再搬回，藉此重建原狀態。

練習四（選做）：把暫存器機器變成口袋計算機#

畫出流程圖並寫出 RAP 程式，讓暫存器機器化身為一台簡易口袋計算機：

• a. 用暫存器 2 指定運算：
  • 0 = 加
  • 1 = 減
  • 2 = 乘
  • 3 = 除
• b. 把要運算的數值放進暫存器 1 與暫存器 3。

於是輸入可用三位數表示（運算碼、運算元、運算元）：

• 306 代表 3 + 6
• 513 代表 5 − 3
• 425 代表 4 × 5
• 933 代表 9 ÷ 3

輸出則放進暫存器 4 到 7：

• 暫存器 4：符號（0 為 +，1 為 −）
• 暫存器 5：數值答案
• 暫存器 6：除法時的餘數
• 暫存器 7：警示燈，標示「除以零」的錯誤

練習四把前面各題的零件組裝成一台功能完整的小機器：以暫存器 2 當「指令解碼器」分派四種運算，再以暫存器 7 當「例外處理」攔截除以零。這正是一切計算機的縮影——簡單的原子操作，經由分支與狀態的層層堆疊，就能長出看似複雜的功能。