弗瑞德舅舅的新提案#

時間又過了幾年，每年的擲幣愈來愈讓你緊張 —— 因為帳戶愈大，每次擲幣賭注也愈高（30% 上漲或 -10% 下跌）。舅舅看出你的不安，提出一個新方案：

每年底把退休帳戶分成兩等份，對每一半各擲一次硬幣，獨立決定報酬。

直覺上，「一次擲幣已經夠嚇人，兩次當然更糟」。但分析後會發現完全相反。兩次擲幣的四種等機率結果：

• 正、正：報酬 +30%
• 正、反：報酬 +10%（一半 +30%、一半 -10%）
• 反、正：報酬 +10%
• 反、反：報酬 -10%

代表性四年的累積倍數：

$$1.3 \times 1.1 \times 1.1 \times 0.9 = 1.4157$$

換算下來：

• 年化報酬從 8.17% 提升到 9.08%。
• 標準差從 20% 降到 14.14%。

這就是投資組合理論最重要的概念：

將投資組合分散到報酬不相關（uncorrelated）的資產上，可同時提升報酬並降低風險。

為什麼「不相關」這麼重要#

關鍵字是不相關：第一次擲幣的結果不會影響第二次。

• 如果兩次擲幣完全正相關（第二次永遠跟第一次一樣），那就退化成單次擲幣，回到較低報酬與較高風險。
• 如果兩次擲幣完全負相關（第二次永遠相反），則每次都剛好是 (+30 - 10) / 2 = 10% 報酬，零風險。

數學細節 ——

對於熟悉衍生品的讀者：賣權（put option）或反向期貨確實與標的資產高度負相關，但兩者報酬會幾乎抵銷，組合報酬接近零。比較精確的說法是：兩個正報酬資產不會持續高度負相關。

真實世界中，偶爾能找到零相關的兩類股票或債券（帶來約 1% 報酬提升與適度風險降低）；有意義的長期負相關幾乎不存在 —— 那實在好得不像真的。

簡單組合模型#

範例 1：股票 vs. 債券#

定義兩種資產：

• 股票：等機率 +30% 或 -10%（與美股長期特性相近）。
• 債券：等機率 0% 或 +10%（與 5 年期國庫票據相近）。

允許自由配置 0%–100%，並於每年底再平衡回原比例。

為什麼必須再平衡？

• 再平衡可同時提高長期報酬並降低風險。
• 不再平衡會讓股票在組合中比例越來越高（因為長期報酬較高），最終變成「全股票組合」，整體風險飆升。
• 最重要的，再平衡培養投資人**「賣高買低」**的紀律。

75/25 範例計算#

若選擇 25% 債券、75% 股票：

$$\text{組合報酬} = 0.25 R_b + 0.75 R_s$$

四種情境的組合報酬：

• 股 +30%、債 +10%：(0.25 × 10) + (0.75 × 30) = +25%
• 股 +30%、債 0%：(0.25 × 0) + (0.75 × 30) = +22.5%
• 股 -10%、債 +10%：(0.25 × 10) + (0.75 × -10) = -5%
• 股 -10%、債 0%：(0.25 × 0) + (0.75 × -10) = -7.5%

最終年化報酬 7.70%，標準差 15.05%。比 100% 股票報酬只少 0.47%，但風險（SD）少了近 5%。換言之，捨去 1/17 的報酬，換來 1/4 的風險消失。

「最低風險組合」反直覺現象#

從全債券組合出發，加入少量股票，報酬上升的同時、風險居然也下降：

• 「最低風險組合」約含 7% 的股票。
• 含 12% 股票的組合與全債券組合風險相同（但報酬更高）。

這個現象在組合理論中反覆出現：即使只想最小化風險，仍應持有部分股票。

範例 2：兩個相同特性的不相關資產#

兩個資產均為 +30%/-10% 等機率，但彼此獨立 —— 即弗瑞德舅舅的雙幣模型。

由於兩資產對稱，75/25 與 25/75 的組合行為相同。觀察結果：

• 趨向 50/50 比例時，風險最低、報酬最高。
• 從 100% 單一資產移到 75/25，收益絕大部分已被取得。
• 從 75/25 再移到 50/50，邊際效益小得多。
• 65/35 與 50/50 的差距 < 0.1% 報酬與 < 0.5% 標準差。

三個關鍵結論#

1. 報酬與風險相近、相關性不完美的兩資產，固定比例再平衡可同時降低風險、提高報酬。後者來自再平衡強迫你賣出表現好的、買入表現差的。
2. 報酬與風險相近且不相關的兩資產，最佳比例約為 50/50。
3. 資產配置容許很大的誤差空間。事後判斷偏離最佳比例 10–20% 並不致命。長期堅持配置紀律，遠比挑出「最佳」比例重要。

多資產真實世界#

上述模型雖能傳達分散投資的核心思想，但真實情況遠為複雜：

• 投資人面對的是數十種資產，每種都有不同的報酬與風險。
• 資產之間極少完全不相關。
• 報酬、風險、相關性都隨時間變動。

兩個資產只有 1 個相關係數，三個資產有 3 個，四個資產有 6 個。幾乎找不到三個彼此不相關的資產，更不可能找到四個以上（就像 10 人辦公室有 45 段人際關係，比 3 人辦公室複雜得多）。

相關係數#

相關係數（correlation coefficient）介於 -1 到 +1：

• +1：完全正相關
• 0：完全不相關
• -1：完全負相關

繪製兩資產月報酬散布圖（一個資產為 x 軸、另一個為 y 軸）即可直觀理解：

• 完全正相關：點呈左下到右上的直線。
• 完全負相關：點呈左上到右下的直線。
• 不相關：點散亂分布、無明顯模式。

三個實例（1975 年 1 月–1998 年 12 月，288 個月報酬）#

• S&P 500 vs. 美國小型股：相關係數 0.777。點幾乎落在直線上 —— 兩者同漲同跌，將美國大型與小型股混合，分散效益有限。

• S&P 500 vs. EAFE 指數（美國以外大型股）：相關係數 0.483。有粗略相關但離完全相關甚遠。

• 日本小型股 vs. REITs：相關係數 0.068。散點圖看不出任何規律。

數學細節：如何計算相關係數

個人電腦時代手算相關係數已是自虐。試算表都有現成函數：

• Excel：=CORREL(A1:A36, B1:B36)
• Quattro Pro：@CORREL(A1..A36, B1..B36)

兩者也都能輸出多資產相關矩陣（correlation grid）。

不相關資產分散效益最大。

• 美國大型股 + 美國小型股 → 效益有限（高相關）。
• REITs + 日本小型股 → 效益顯著（幾乎不相關）。

真實投資世界中，這個結論一再被驗證。

本章重點#

1. 資產相關性是組合理論的核心 —— 相關性愈低，分散效益愈好。
2. 將組合分散到不相關資產可同時降低風險、提高報酬。但要捕捉這份額外報酬，必須定期再平衡。