弗瑞德舅舅的擲幣#
想像你為富有但古怪的弗瑞德舅舅工作。30 歲的你被納入公司退休金計畫，舅舅每年提撥 5,000 美元到你的帳戶，工作 35 年後 65 歲退休。但你必須先選定下列其中一種投資方式，且任期內不得更改：
- 選項一：定存單，年化報酬率 3%。
- 選項二：弗瑞德舅舅的擲幣（Uncle Fred’s coin toss）：每年底舅舅擲一次硬幣 —— 正面當年報酬 +30%，反面 -10%。
兩個選項的比較#
選項一可確定 35 年後拿到 302,310 美元；若同期通膨也是 3%，這筆錢的當前購買力只有 107,436 美元。乍看穩當，實則「貧窮老年」幾乎已被鎖定。
選項二令人不安。萬一連續多年都擲到反面怎麼辦？仔細算算後會發現它的實力：
長期而言，正反面各半。將正反交替排列，每兩年的報酬為：
$$1.3 \times 0.9 = 1.17$$
即兩年後 1 美元變成 1.17 美元，年化報酬率為 8.17%，遠高於選項一的 3%。
要落後選項一，需要在 35 次擲幣中至少 23 次擲到反面（亦即正面少於 13 次）。利用二項分布（binomial distribution）可算出這種情況的機率不到 5%。
Figure 1-1：弗瑞德舅舅擲幣的機率分布
弗瑞德舅舅的擲幣看似古怪，其實非常接近多數投資人面對的真實抉擇：貨幣市場帳戶或國庫券的「安全」，相對於普通股的「賭博」。表面上的安全選項才是最可怕的 —— 它幾乎保證你晚年陷入貧困。
平均報酬 vs. 年化報酬#
擲幣帶出一個關鍵概念：平均報酬與年化報酬不是同一件事。
- 平均報酬（average return）：每年報酬的算術平均。擲幣的平均報酬是 (+30 - 10) / 2 = 10%。
- 年化報酬（annualized return）：若改為「每年都拿到固定報酬」、結果會等同實際報酬序列的那個數字。擲幣的年化報酬是 8.17%。
舉個極端例子：
- 一檔股票第一年漲 100%，第二年跌 50%。平均報酬看似 +25%。
- 但 10 元 → 20 元 → 10 元，年化報酬其實是 0%，你一毛都沒賺。
你用來繳帳單的是年化報酬，不是平均報酬。年化報酬永遠小於或等於平均報酬。
風險與報酬密不可分#
擲幣的長期報酬約 11.22%，與普通股 1926–1998 這 73 年的歷史報酬幾乎相同；其「風險程度」也與普通股非常接近。透過這個簡化模型，我們直接觸碰到投資的根本法則：
- 長期而言，承擔風險才能得到回報。
- 若一味追求安全，報酬必定低落。
- 報酬與風險密不可分。識破投資詐騙最可靠的訊號之一，就是承諾「低風險高報酬」。
計算多年報酬：實例#
假設資產 A 連續八年的報酬為 +20%、0%、+10%、-10%、+30%、+15%、+10%、+5%。
八年後的累積倍數：
$$1.2 \times 1.0 \times 1.1 \times 0.9 \times 1.3 \times 1.15 \times 1.1 \times 1.05 = 2.051$$
總報酬 105.1%，10 元變成 20.51 元。
平均報酬 10%。
年化報酬 9.397%（小於平均報酬 10%）。
試算表（如 Excel）內建大量財務函數，計算十分容易。若不熟試算表，作者推薦 TI BA-35 或同級財務計算機，約 20 美元。學會年金（annuity）功能對退休規劃、貸款計算等都非常實用。
標準差：風險的度量#
風險的核心量化工具是標準差（standard deviation, SD），衡量一組數字的「散佈程度」。資產 A 上述八年報酬的標準差為 11.46%。
各類資產年度報酬標準差的典型範圍#
- 貨幣市場（現金）：2%–3%
- 短期債券：3%–5%
- 長期債券：6%–8%
- 國內股票（保守型）：10%–14%
- 國內股票（積極型）：15%–25%
- 外國股票：15%–25%
- 新興市場股票：25%–35%
銷售員或經紀人推銷任何標的時，請開口問「年度報酬的標準差是多少」。不知道，就別買；連這個概念都沒聽過，換一個經紀人。
標準差代表什麼意義#
假設報酬呈常態分布，標準差告訴你：
- 約 2/3 的時間，年度報酬會落在「平均值 ± 1 個標準差」之間。
- 對資產 A 而言，2/3 機率的範圍是 -1.46% 到 +21.46%。
- 跌破 -1.46%（負 1 個 SD）：每 6 年發生一次。
- 跌破 -12.92%（負 2 個 SD）：每 44 年發生一次。
- 跌破 -24.38%（負 3 個 SD）：每 740 年發生一次。
Figure 1-2：資產 A 的報酬分布與下方風險
範例：拉丁美洲股票基金#
預期報酬 15%、標準差 35%：
- 每 6 年會出現一次 -20% 或更糟的虧損。
- 每 44 年會出現一次 -55% 或更糟的虧損。
- 每 740 年會出現一次 -90% 的虧損。
過去推銷這類基金的銷售員，幾乎不會主動把這些資訊告訴客戶。市場過熱的徵兆之一，就是參與者普遍低估市場內藏的風險。
數學細節：其他風險度量#
統計專業讀者會留意到標準差作為風險度量的若干局限：
- 真實世界的報酬並非標準的常態分布（normal distribution），更接近對數常態分布（lognormal distribution）。
- 分布通常具有偏態（skew）與峰度（kurtosis），亦即不對稱與極端事件較頻繁。
- 標準差的最大爭議在於 —— 它把「高於平均」與「低於平均」視為等量風險，但事實上只有低於平均的事件才是風險。
於是有學者提出半變異數（semivariance），只計算低於平均的偏離。但實務上半變異數與標準差結果差距不大。
標準差還有一個額外優勢：多一個察覺異常波動的機會。著名的長期資本管理公司（Long Term Capital Management）案例中，半變異數要到破產前夕才急轉直下；但月報酬的標準差/變異數其實早在數年前就發出警訊。
其他可能的風險度量還包括：
- 名目虧損的機率。
- 通膨調整後虧損的機率。
- 「虧損標準差」。
- 表現不如某指數（如 S&P 500、國庫券殖利率）的機率。
- 表現不如無風險資產（通常為國庫券）的機率，可由標準常態累積分布函數（standard normal cumulative distribution function）算出。
你也可以自訂風險度量。這類個人化的風險與報酬度量，在學術上稱為效用函數（utility function）。