知名數學家、物理學家通常都有一個與其名字緊密綁定的公式：畢達哥拉斯有 $a^2 + b^2 = c^2$，Newton（Isaac Newton）有 $F = ma$，Einstein（Albert Einstein）有 $E = mc^2$。但對於以「沮喪科學」（dismal science）著稱的經濟學家而言，這是極為罕見的榮耀——Scholes（Myron Scholes）是少數例外。

Scholes 與 Fischer Black 1973 年共同發表的選擇權定價公式，是社會科學中最廣為人知的公式之一。同年，他在 MIT 的同事兼友善競爭對手 Robert C. Merton 發表了模型擴展。三人的共同貢獻常被合稱為 Black-Scholes/Merton 選擇權定價公式。

Scholes 不僅是公式的共同創建者，他也是實證金融的早期開拓者，並親身投入多項商業冒險（包括日後著名的 Long-Term Capital Management）。他對「完美投資組合」的看法，與 Markowitz、Sharpe 截然不同——核心是風險管理，而非組合成分。

北國少年#

從 Timmins 到 Hamilton#

• 1941 年 7 月 1 日（加拿大國慶日）：出生於安大略省 Timmins，一個人口不到三萬的金礦小鎮
• 父親在大蕭條期間到 Timmins 行醫；母親與舅舅在當地經營百貨連鎖
• Timmins 出產過 26 位以上的 NHL 球員（如 Bill Barilko），以及鄉村歌手 Shania Twain。Scholes 自嘲：「Shania 的經濟學跟我的鄉村歌唱差不多。」

重大健康挑戰#

• 10 歲全家南遷至 Hamilton（加拿大鋼鐵之都）
• 母親在他 16 歲時因癌症過世
• 角膜疤痕導致閱讀困難——直到十年後角膜移植才恢復視力。期間他學會抽象思考、成為敏銳的傾聽者

對股市的好奇#

「北加拿大有許多銀礦、金礦公司，我父母、舅舅、阿姨都在尋找『下一個大發現』，買幾分錢一股、期待跳到幾美元。雖然他們從沒成功過。我很好奇——有沒有除了散播謠言之外的方法？」

Scholes 在 McMaster 大學主修經濟學，並深受 University of Chicago 出身的教授影響——後者引介他閱讀 Stigler 與 Friedman 的著作。他原本考慮念法學院，但最後選擇到 Chicago 念 MBA。

芝加哥：意外進入博士班#

「百年難得一遇」的同窗#

Scholes 在 Chicago 取得 MBA（1964）與博士（1969）。他屬於 Fama 所形容「百年難得一遇」的博士生群——同期還有 Michael Jensen、Richard Roll、Ray Ball、Marshall Blume、James MacBeth、Ross Watts。

程式設計師之路#

Scholes 原本打算 MBA 後加入舅舅的出版業，但作為加拿大籍學生，校外打工受限。

他到計算中心找工作，主任 Robert Graves 告訴他「你是第七號程式設計師，別擔心」。但其他六人從未出現——只有他一個。當教授找上他協助研究時，他抗議自己只是新手，但「你是第七號，可是其他人沒來」。

Scholes 因此在程式設計與經濟研究中漸入佳境。其中一位他「服務」的教授是 Merton Miller，後者建議他直接念博士——「他們甚至連申請都免了，直接告訴我『進來吧』。」

博士論文#

Scholes 93 頁的博士論文〈A Test of the Competitive Market Hypothesis: The Market for New Issues and Secondary Offerings〉提出：

• 證券價格不僅受供需移動影響，新資訊會讓整條需求曲線移動
• 大型「知情」投資者的訊號會改變市場對證券的整體評價
• 「這是金融學第一次提出理性預期（rational expectations）的概念——只有新資訊才會改變需求，而非個人想多賣或少賣某檔證券。」

Black 與 Scholes 的相遇#

從 MIT 到 Wells Fargo#

1968 年 Scholes 加入 MIT Sloan 任助理教授（薪水比德州大學奧斯汀分校少 5,500 美元，且沒有顧問機會）。

Scholes 與 Black 的相識起於同窗 Jensen 牽線。Black 當時在 Cambridge 的 Arthur D. Little 顧問公司，正受託研究共同基金。Scholes 為 Wells Fargo 的 John “Mac” McQuown 提供顧問服務，研究將電腦模型應用於投資管理。

1968 年夏天，Scholes 評估 Wells Fargo 的管理科學部門後說：「他們有很好的技術，但缺乏輸入。或許該反向思考——研究被動投資如何融入投資環境。」六個月後 Wells Fargo 真的同意贊助這方面研究——而 Scholes 介紹了 Black 加入。

Black-Jensen-Scholes 論文#

Black、Jensen、Scholes 合著的〈The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests〉發現：

• 預期報酬與 beta 不完全成比例——這是反直覺的結果
• 但 beta 仍是平均報酬的重要決定因子
• 提出用投資組合而非個股來減少 beta 估計誤差——後來成為實證研究的標準做法

Black-Scholes 公式的誕生#

Black 的努力#

1968 年左右，Black 開始嘗試對「認股權證」（warrant）定價：

• 透過微分方程處理風險的動態
• 卻不知道自己推導出的方程，其實是熱力學的「熱方程式」（heat equation）——一個有已知解的方程
• 卡關後暫時擱置

Scholes 的同步發現#

同一時間，Scholes 在指導 MIT 學生的碩士論文時發現：

「他們嘗試用 CAPM 折現選擇權的到期價值——但折現率本身會變化，因為標的的潛在風險不是常數。我開始研究零 beta 組合（zero-beta portfolio）、避險組合的概念，但動態關係沒處理好。」

某個下午與 Black 討論時，兩人發現彼此各自卡關——「我給他看我做了什麼，他開始給我看他做了什麼。他卡住，我也卡住，於是我們把思考結合起來。」

核心洞見：複製組合#

Black 的洞見：

• 若選擇權價格隨股價漲 1 美元而漲 0.5 美元（漲 2 元而漲 1 元）
• 可建立避險組合：買 1 股股票 + 賣空 2 個選擇權
• 這個組合幾乎無風險——因此其報酬必須等於無風險利率
• 「這個原則就給出選擇權定價公式——只有一個公式能讓避險組合的報酬永遠等於短期利率。」

公式#

$$w(x, t) = x \cdot N(d_1) - c \cdot e^{-r(t^* - t)} \cdot N(d_2)$$

其中：

$$d_1 = \frac{\ln(x/c) + (r + \frac{1}{2}v^2)(t^* - t)}{v\sqrt{t^* - t}}$$

$$d_2 = \frac{\ln(x/c) + (r - \frac{1}{2}v^2)(t^* - t)}{v\sqrt{t^* - t}}$$

五個必要輸入：股價、履約價、到期日、無風險利率、波動率。前四項可直接觀察，只有波動率需要估計——這是實作 Black-Scholes 的最大挑戰。

例子#

IBM 股價 130 美元，3 個月買權履約價 132 美元，國庫券 2.5%，估計波動率 30%——公式直接告訴你買權的合理價格為 7.17 美元。

模型 vs 技術#

Scholes 強調模型（model）與技術（technology）的差異：

• 模型：解決特定定價問題，需要特定假設（常數波動率、常數利率）。模型估計必有誤差
• 技術：應用數學概念理解假設關係，可處理變動的風險、波動、利率

「許多人說 Black-Scholes 模型不靈，這要看假設。但整個衍生性技術的發展，改變了金融業的本質。」

發表之路：兩次被拒#

1970 年 10 月，Black 將論文〈A Theoretical Valuation Formula for Options, Warrants, and Other Securities〉投至《Journal of Political Economy》——立即被退稿（編輯直接拒收）。再投至《Review of Economics and Statistics》——再次速退。

Black 懷疑是因為他不在學界，回信地址讓人不認真看待。1971 年 1 月，他們改寫並改題為〈Capital Market Equilibrium and the Pricing of Corporate Liabilities〉。在 Miller 與 Fama 的支持下，《Journal of Political Economy》終於在 1971 年 8 月有條件接受。

1973 年 5–6 月號正式刊出——標題定為〈The Pricing of Options and Corporate Liabilities〉。論文至 2021 年 Google Scholar 引用數已超過 40,000 次，是金融學史上引用最多的論文之一。

衍生性商品市場的爆炸#

CBOE 的誕生#

論文發表的同一年（1973），Chicago Board of Options Exchange（CBOE）成立——世界第一個標準化選擇權交易所。

CBOE 開幕日大半天，交易員無聊到下西洋棋與雙陸棋。但 Black-Scholes 公式很快帶動了選擇權交易的爆炸性成長。1984 年 CBOE 已是僅次於 NYSE 的第二大金融資產交易所。

1974 年 Texas Instruments 推出內建 Black-Scholes 公式的計算機。Scholes 跟他們索取版稅：「他們說我們的研究在公領域；我跟他們要一台計算機，他們建議我自己買。我從沒買過。」

VIX 恐慌指數#

當其他四個變數已知時，可從選擇權市價反推隱含波動率（implied volatility）。CBOE 把這個概念變成了「Volatility Index」（VIX，俗稱「恐慌指數」）：

• 1987 年 10 月 12–16 日股票跌 8.6%、VIX 飆漲 48%
• 10 月 19 日（黑色星期一）美股單日跌 20% 以上

Scholes 觀察：「選擇權市場的資訊比現貨市場豐富得多。1987 年崩盤時就是這樣。股價同時包含『現金流預期』與『風險預期』兩個資訊，但選擇權價格的變化直接告訴你風險如何變化。」

「金融大規模毀滅性武器」？#

巴菲特的批評#

巴菲特（Warren Buffett）在 2002 年 Berkshire Hathaway 致股東信中寫道：

「衍生性商品已從瓶子裡放出來了。中央銀行與政府至今找不到有效的監控方式。在我看來，衍生性商品是金融大規模毀滅性武器（financial weapons of mass destruction），帶有目前潛伏但可能致命的危險。」

Scholes 的回應#

Scholes 認為巴菲特當時談的是 General Re 收購案中那些 20–30 年期的長期合約。「對於長期證券，利率等小變動可能對今日價格產生大影響。」

「衍生性商品被妖魔化，主要是因為它們是新東西。它們確實有槓桿成分，但市場有買有賣（零和），如果有人付過高價買選擇權，自然有賣家進場矯正。AIG 在金融危機中的問題是內部風控與治理，不是衍生性商品本身。」

Scholes 心目中的完美投資組合#

Scholes 的觀點與 Markowitz、Sharpe 大不相同——重點不是組合成分，而是風險管理。

投資人真正在乎的三件事#

「投資人真正在乎的是：終值（terminal wealth）、複利報酬（compound return），與回撤（drawdown）。對給定的回撤，他們希望有最佳的體驗。」

1. 終值（Terminal Wealth）#

• 投資人有目標生活方式（如退休後買小屋、旅行）
• 從目標反推退休時所需的「終值」
• 終值取決於逐年報酬，而非單次平均

2. 複利報酬與「凸性風險」#

Scholes 強調：複利報酬永遠低於算術平均報酬，且波動越大，差距越大——他稱之為凸性風險（convexity risk）或波動拖累（volatility drag）。

例：100 美元、+20%、−20%

• 算術平均：0%
• 實際結果：100 → 120 → 96（虧 4%）
• 或：100 → 80 → 96（虧 4%）

「平均深度只有半英尺的河」可能在某段有 20 英尺深——你不會游泳就會淹死，不會再過第二次河。

3. 回撤（Drawdown）與尾端#

回撤指投資組合從高點到低點的跌幅：

• 「真正影響終值的是分配的尾端，不是中間。」
• 負尾端（如 1987 年的單日 20% 暴跌）是投資人最該避免的
• 正尾端也應參與——「不能只想要低風險。風險管理是對稱的。」

對被動投資的批評#

Scholes 對指數基金有幾項保留：

• 構成風險：S&P 500 的構成隨時間變動（科技權重時高時低、公用事業權重時低時高）
• 波動率不為常數：不同時期波動率不同，傷害複利報酬
• 相關性不固定：2007–2009 危機時所有股票一起跌，「分散投資並不存在」
• CAPM 是單期模型，但人生是多期的——「每一期都重要」

完美投資組合的兩個核心問題#

1. 資產限制：我能投資的範圍是什麼？例如已在銀行業工作的人，或許該避開銀行股
2. 風險管理：透過主動與被動的組合管理風險。投資人需決定願意承受的風險水準

不喜歡目標日期基金#

「目標日期基金（target-date funds）說『年輕時投股票、年老時投債券』——這不是正確模型。正確的模型是風險，不是股債比例。」

「年輕時你想承擔什麼風險？相對於你的人力資本與其他財富，你的風險如何？未來的目標日期基金將是『風險管理』基金。」

從衍生性商品市場學習#

Scholes 的最終建議：傾聽市場提供的風險資訊——

• 用 VIX 估計預期市場波動率
• 用價外深度選擇權的價格估計尾端風險
• 動態調整組合，以維持目標風險水準
• 「如果完美投資組合不利用市場提供的資訊，那它就不是完美投資組合。」

Scholes 走完了一個圈：他協助創造了現代衍生性商品市場——現在他希望投資人傾聽這些市場，藉此打造完美投資組合。