數值系統與補數

為什麼要先複習進制與補數#

在學習編寫系統程式之前，進制間的轉換與補數系統是必備的基本技能。現今電腦多採用「二進位 + 二補數（Two’s Complement）」儲存資料，所以這一章先把基礎打穩，後續學位元操作、浮點數、組合語言時才不會卡關。

讀完本章你會掌握：

進位制是一種記數方式，利用有限種數字符號來表示所有數值。一種進位制中可以使用的數字符號數目稱為「基數」或「底數」。若一個進位制的基數為 n，即稱為 n 進位制。現今最常用的是十進位（基數 10）。

以十進位數字 28 為例：

10 進制	2 進位	8 進位	16 進位
28	11100	34	1C

遇到 2 就進位：

遇到 8 就進位：

16 進制系統可以使用 0 - 15 表達數值，但 10 - 15 本身已經是進位過後的結果，因此用英文字母 A-F 取代：

8 進制中，1 個位元可以表示 8 種狀態；二進位需要 3 個位元才能表示 8 種狀態。把 8 進制的單一位元轉為 2 進制的 3 個位元即可：

34 (8) -> 011 100 -> 11100 (2) -> 28 (10)

16 進制中，1 個位元可以表示 16 種狀態；二進位需要 4 個位元才能表示 16 種狀態。把 16 進制的單一位元轉為 2 進制的 4 個位元：

1C (16) -> 0001 1100 -> 11100 (2) -> 28 (10)

若要把二進位 10011.011 轉為十進位，整數部分按權位展開即可，小數部分則用負次方權位展開。

從十進位轉到 n 進位的技巧：

將二進位數按位元逐個反轉，就得到 1’s 補數（ones’ complement）。

0001 (+1) 的一補數為 1110 (-1)。

一補數的特性可以讓加法電路同時運算減法：

0001 (1) + 1100 (-3) = 1101 (-2)

不論是「有號數直接表示」或「一補數」，都會產生 +0 與 -0 兩種零的狀態。為了避免這個問題，電腦科學家進一步發展出二補數（Two’s Complement）。它的計算規則非常簡單：

以 -7 為例。先把 -7 寫成一補數：

接著一補數 +1 得到二補數：

利用「MSB 為負，其餘為正」的權重規則驗算：

-8 (MSB)	4	2	1 (LSB)
1	0	0	1

(-8) × 1 + 4 × 0 + 2 × 0 + 1 × 1 = -7，結果一致。

二補數最大的好處：只有一個零、加減法電路統一、且最高位元同時是符號位，硬體實作非常乾淨。這也是為什麼現代電腦幾乎都採用二補數來表示有號整數。

二進位是計算機運作的基礎，但人類在閱讀記憶體 dump 或位址時通常會以 8 / 16 進位表示，因為它們與二進位有對應關係（每位 = 3 / 4 個 bit）。
補數系統解決了「如何用同一套電路同時做加法與減法」的問題；其中二補數又解決了一補數中 ±0 並存的問題。