二戰最高機密：貝葉斯破解 Enigma#

2012 年 4 月，英國政府通訊總部（GCHQ）解密了一份 44 頁的二戰技術文件——《機率在密碼學上的應用》（《The Applications of Probability to Cryptography》）。作者：艾倫・圖靈（Alan Turing）。

GCHQ 內部人員形容：「我們花了七十多年才把這份文件的果汁榨乾。」

這份文件確認了學界自 1970 年代以來的猜想—— 圖靈與布萊切利園的同事曾大量使用貝葉斯定理破解 Enigma 與 Lorenz 密碼機。

數十億億種可能設定#

德軍 Enigma 機可產生 **15 × 10¹⁸（150 億億）**種訊息加密設定。布萊切利園的負責人原本斷言此密碼「不可能破解」，但他低估了貝葉斯：

• 從攔截到的密文（觀察資料）反向推算最可能的設定
• 結合一點點線索，反覆迭代更新信念
• 最終加上世界第一台電子電腦 Colossus，連希特勒親自使用的 Lorenz 密碼機都被攻破

戰後同樣的方法可能用於 VENONA 計畫——這項持續至 1980 年的反情報行動揭穿了 Klaus Fuchs、Alger Hiss、Kim Philby 等知名冷戰間諜。

1951 年美國兩位數學家因被允許發表含貝葉斯思想的論文，立刻被蘇聯破譯員注意到——這也說明戰後貝葉斯方法為何在學界仍長期保密。 圖靈在布萊切利的同事 I. J. ‘Jack’ Good 戰後重返學界，常被迫聽人嘲弄貝葉斯，卻因保密規定無法用親身經驗反駁。

圖靈版貝葉斯定理#

圖靈與同事不喜歡複雜運算（加法比乘法簡單），於是把貝葉斯定理重塑成更直觀的形式：

新信念水準 = 舊信念水準 + 證據的權重（Weight of Evidence）

證據權重 = $\log(\text{LR})$ 其中 $LR$ 為「假設信念正確時觀察到該證據的機率」÷「信念錯誤時觀察到該證據的機率」

對數賠率的好處#

把機率（0 到 1）轉換為對數賠率（−∞ 到 +∞）：

• −∞ = 絕對懷疑
• 0 = 沒有立場
• +∞ = 絕對確信
• 對稱、自然且優雅
• 也提醒我們：極端信念無法被任何證據改變——是不理性的

圖靈處理「先驗難題」的態度#

圖靈面對學界戰得頭破血流的「先驗難題」非常務實：

• 用硬事實 + 受過訓練的猜測組合
• 只要先驗不太離譜，證據累積後便逐漸無關
• 結果：戰勝軸心國，拯救無數生命

如何看懂證據？#

設「假設信念正確時看到證據的機率」= R，「假設信念錯誤時看到證據的機率」= W：

1. R > W：證據加分，加強信念
2. R < W：證據減分，削弱信念
3. R = W：證據對信念完全無影響
4. 無法估計 R 或 W：別輕下任何判斷

經典案例：「毛茛測試」#

孩子們把毛茛（buttercup）放在朋友下巴下，看是否反射黃光來判斷他「喜不喜歡奶油」。

• 「喜歡奶油的人下巴會發黃」是真陽性 → R 高
• 但幾乎所有人下巴都會發黃，無論喜不喜歡奶油 → W 也高
• 規則 3 警告：R ≈ W → 證據權重為 0
• 必須對「不喜歡奶油的人」做對照測試，才能判斷此測試的價值

應用：診斷檢測#

報導某新「神奇診斷」？必須問：

• 對患病者的真陽性率（R）有多少？
• 對未患病者的偽陽性率（W）有多少？

只給一邊，套規則 4，不該下任何判斷。

貝葉斯的當代應用#

科學#

• 臨床試驗：結合既有知識 + 新數據，更快、更可靠、用更少病患得出結論
• 古人類學：比較人類演化的不同假說
• 宇宙學：以前所未有的精度限制宇宙參數

日常工具#

• 線上搜尋
• 拼字校正
• 垃圾郵件過濾（vIA*g_rA D#Als 之類的變形拼法）

對抗網路犯罪#

英國公司 Darktrace（許多員工出身 GCHQ）用貝葉斯方法分析企業網路的「正常行為基線」，藉此偵測異常：

網路罪犯不論偽裝多久，最終仍會洩露行為特徵（窺探敏感檔案、下載資料）。 用貝葉斯持續更新「正常 vs 異常」的信念，正是當代網路安全的核心方法。 歷史正以驚人的方式重演：圖靈年代用貝葉斯打贏二戰，今天則用同套思維對抗網路犯罪。

結語#

即使沒有具體數字，貝葉斯定理仍能幫我們釐清「應該問什麼問題」。 它也提醒我們：當別人只給我們一半資訊時——甚至更少時——必須提高警覺。