一場無聊催生的實驗#

1940 年春天，南非數學家約翰・凱里奇（John Kerrich）跨越 12,000 公里前往丹麥探望岳父母，卻遇上納粹德國以閃電戰入侵丹麥。身為「敵國僑民」，他被關進了日德蘭半島（Jutland）的拘留營。

在無書可讀、無事可做的日子裡，這位威特沃特斯蘭德大學（University of Witwatersrand）的數學講師決定做一件只需最少設備卻能驗證理論的事——擲硬幣，並完整記錄結果。他與同營難友克里斯滕森（Eric Christensen）合作，鋪上桌布，把硬幣彈到約 30 公分高，然後一次又一次地擲。

第一次的結果：反面（tails）。

弔詭的數據#

凱里奇與克里斯滕森一共擲了 10,000 次硬幣。直觀上，「平均律（Law of Averages）」應該讓正反面的次數逐漸趨於相等。實際數據卻令人困惑：

正反面之間的差距不但沒有縮小，反而越來越大。

這結果挑戰了一般人對「平均律」的理解：「長期來看一切都會打平」似乎是錯的？ 凱里奇仔細檢查後確認硬幣公平、實驗無誤——真正的問題出在「平均律」這個概念本身被普遍誤解了。

真正的「平均律」#

誤解：原始次數會打平#

許多人——包含運動迷、經歷一連串厄運的賭徒——都認為平均律保證「正反面的次數最終會相等」。這是錯的。盲目隨機作用於每次擲硬幣，反而讓「原始次數完全相等」越來越不可能。

正解：相對頻率會收斂#

平均律真正在說的是「相對頻率（relative frequency）——也就是每個結果出現的次數除以總嘗試次數——會逐漸接近某個固定值」。

• 凱里奇實驗中，最終正面比例為 50.67%、反面 49.33%，兩者差距不到 1%
• 與之對比的是：原始次數差距持續擴大到 134
• 我們無法保證個別結果如何，但可以說它們在大量嘗試後的比例將趨近理論值

平均律不是承諾「正反次數會打平」，而是承諾「正反比例會趨近 50%」。 這兩件事在數學上完全不同。

機率即相對頻率#

平均律告訴我們：要理解機率事件，不要看單一事件本身，要看它的相對頻率。

• 擲硬幣 1 萬次：每面比例趨近 50%
• 擲骰子 1 千次：六面各自的比例趨近 1/6
• 對於骰子、撲克牌等對稱物件，可從基本性質直接算出機率
• 若實驗結果偏離預期，就值得懷疑「我們的假設是否站得住腳」

相對頻率是衡量機率事件最基本、最可靠的方式。把焦點放在「比例」而非「次數」，就能避開直覺的陷阱。

硬幣真的是隨機的嗎？#

2008 年波蘭羅茲科技大學（Technical University of Łódź）團隊分析了真實硬幣在空氣阻力下的力學模型，發現：

• 硬幣在空中的軌跡其實可預測
• 落地後因「混沌行為」放大微小差異，結果才呈現隨機
• 史丹佛大學數學家戴亞康尼斯（Persi Diaconis）團隊也發現：用手接住的硬幣略微傾向「以開始時的同一面落定」
• 但偏差極微，硬幣擲出仍可視為隨機

結語#

當我們面對含有機率成分的事件時，焦點應放在事件的相對頻率——也就是某結果出現次數佔總嘗試次數的比例——而非事件本身的原始計數。