本章探討當純策略無法產生均衡時的解方：混合策略（Mixed Strategy）。透過隨機化你的行動，你可以讓對手無法預測你的下一步，這在零和賽局中尤其重要。
為什麼要隨機化？#
公主新娘的毒酒杯#
電影《乃主新娘》中 Vizzini 的經典場景完美展示了混合策略的直覺：如果你的選擇有任何可預測的模式，對手就能利用這個模式來擊敗你。唯一的解方是真正的隨機化。
混合策略的核心邏輯：如果你的對手能預測你的行動，他就能做出對你不利的回應。因此，在某些賽局中，不可預測性本身就是一種優勢。
足球罰球的實證研究#
經濟學家對職業足球罰球的統計分析提供了混合策略的真實證據：
- 射手會隨機選擇踢左、踢右或踢中間
- 守門員也隨機選擇撲救方向
- 統計數據與混合策略均衡的預測高度吻合
Figure 5.1: 足球罰球的報酬矩陣：射手與守門員的得分率
這證明了：即使球員沒有學過賽局理論，競爭壓力也會推動他們趨向均衡行為。
極小極大定理（Minimax Theorem）#
馮·紐曼（John von Neumann）的偉大成就：
在所有的兩人零和賽局中：
- 每個玩家的最優混合策略都能保證一個最低報酬
- 這兩個最低報酬相等
- 這個值稱為賽局的值（Value of the Game）
Figure 5.2: 極小極大圖：射手最優混合策略的求解
極小極大定理的深層含義：在零和賽局中，先行動沒有劣勢（只要你用混合策略），因為你的最優隨機化讓對手即使知道你的策略也無法獲利。
混合策略的計算#
均衡的混合策略必須讓對手對自己的所有純策略無差異（Indifferent）：
- 如果對手偏好某個純策略，你就應該調整機率讓那個策略不再有優勢
- 均衡時，對手選擇任何被使用的純策略都得到相同的預期報酬
剪刀石頭布#
在對稱的剪刀石頭布中，唯一的乃許均衡是各出 1/3 的機率。任何偏離都會被對手利用。
非零和賽局中的混合策略#
在非零和賽局中，混合策略均衡也存在，但意義不同：
- 你的混合不是為了讓自己「安全」，而是讓對手無差異
- 混合策略均衡可能不如純策略均衡有效率
- 但當純策略均衡不存在或無法協調時，混合策略是唯一的解
商業中的混合策略
- 促銷時機：零售商隨機安排促銷活動，避免競爭對手每次都跟進
- 查核策略：稅務機關隨機抽查，而非按固定模式稽核
- 產品發布：科技公司刻意保密新產品的發布時間
在這些場景中，可預測性是弱點，隨機性是武器。