從事實到效用：機率不是全部#

1738 年，俄羅斯聖彼得堡帝國科學院的論文集刊登了一篇文章，主旨被作者本人用斜體強調：

「一物的價值不在其價格，而在其所產生的效用。」

這篇 1731 年宣讀的論文〈Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis〉（《關於風險衡量之新理論的論述》）的作者，是 38 歲的瑞士數學家 丹尼爾・伯努利（Daniel Bernoulli）。這篇論文是有史以來最深刻的文獻之一——不只關於風險，更關於人類行為。

與七十多年前 Port-Royal Logic 的論述相呼應：任何涉及風險的決策都包含兩個分不開的成分：

• 客觀事實（objective facts）
• 對結果可欲性的主觀判斷（subjective view about desirability）

缺一不可。

伯努利家族與啟蒙運動#

從 1600 年代末到 1700 年代末，伯努利家族出了八位著名數學家。這個家族特質鮮明：

• 創始人 Nicolaus Bernoulli 是巴塞爾的富商
• 三子 Jacob、Nicolaus、Johann 都是著名數學家
• Jacob 是大數法則的發現者；高爾頓形容他「膽汁質與憂鬱兼具」，與父親關係糟到以「我不顧父親的反對，仍躋身群星之間」為座右銘
• Daniel 的父親 Johann 因為 Daniel 在法國科學院得獎（自己想要的），把兒子趕出家門

Daniel Bernoulli 是這個時代典型的人物。十八世紀在歷經宗教戰爭後擁抱理性——巴洛克的激情讓位給古典的秩序與理性。Daniel 把 Port-Royal Logic 的神秘主義轉譯為理性決策者的邏輯論證。

期望值的盲點#

數百年來機率學家公認的命題是：

$$ \text{期望值} = \sum (\text{可能收益} \times \text{對應機率}) $$

但 Bernoulli 認為這個公式有缺陷——它只看事實，忽略了結果對決策者的後果。

同樣事實，不同效用#

• 雷雨來臨時，知道被雷擊機率極低的人仍可能恐懼到顫抖——他們對「被擊」這個結果賦予極高的負面權重
• 飛機顛簸時，有人緊抓椅墊、有人安然入睡——同樣的客觀風險，不同的主觀效用

Bernoulli 看得更清楚：「腸胃支配測量」（Gut rules the measurement）——情緒與感受實實在在地進入決策。

而這正是好事——若每個人對風險的評價都一致，許多冒險機會將被略過。冒險者把高效用放在小機率的巨額獲利上；保守者把低效用放在獲利機率上，因為他們最在乎保本。沒有冒險者，世界轉得會慢得多。

邊際效用遞減：思想史上一大躍進#

Bernoulli 的關鍵主張，僅一頁就改寫了思想史：

「任何小幅財富增加所產生的效用，都與既有財富成反比。」

這意味著：

• 你越富有，多賺一點對你的效用越小
• 把財富想像成磚塊堆：底層的磚塊大、頂端的磚塊小——拿走頂上一塊比新增一塊更有感

對稱性的崩解#

延伸出來的洞察是：

• 失去的痛苦永遠大於同等獲得的快樂
• 公平賭局（50/50 賭 50 ducat 對 50 ducat）若用效用計算，是個輸家遊戲
• 任何人理性地把財產任何部分押在數學上公平的賭局，都是不理性的——下注比例越大，越愚蠢

風險規避（risk aversion）的精準定義#

Bernoulli 引出「風險規避者」（risk-averse）這個今日仍普遍使用的概念。要測你自己的風險規避程度，可以問：

• 確定拿到 25 美元 vs. 50% 機率拿到 50 美元（期望值同為 25）——你選哪個？
• 若你選確定的 25，你是風險規避者
• 你的「確定等值」（certainty equivalent）有多高？要 30 元、40 元、還是 60 元的期望值，才會讓你選擇下注？

樂透是個有趣的例外——多數玩家是風險偏好者，儘管國家從中抽走的比例驚人地高。

聖彼得堡悖論#

Bernoulli 最著名的應用例子是 聖彼得堡悖論（Petersburg Paradox），由他的「最尊敬的表兄、傑出的 Nicolaus Bernoulli」提出：

遊戲規則#

• Peter 不停丟硬幣，直到出現正面
• 第一次正面：付 Paul 1 ducat
• 第二次才出現正面：付 2 ducat
• 第三次：4 ducat
• 第 n 次：2^(n-1) ducat

Paul 應該付多少錢來取得這個賭局？

期望值的悖論#

• 用傳統公式計算，期望值無限大
• 但「任何稍有理性的人，都會樂於以 20 ducat 把這個機會賣掉」

邊際效用遞減的解答#

Bernoulli 用邊際效用遞減來解釋：第 200 次正面所多獲得的效用，只比第 100 次多出無窮小。即使在第 51 次擲中，獎金已超過 1 兆兆 ducat（10^15）——但對個人的「邊際幸福」幾乎為零。

直到 1954 年——原文發表 216 年後——這篇論文才有英譯本。Keynes 1921 年在《機率論》中提及後，才再度引發深入的數學處理。

投資世界的「漂亮 50」#

聖彼得堡悖論不只是學術練習。1960 年代末到 1970 年代初，美國機構投資人陷入對「漂亮 50」（Nifty-Fifty）成長股的迷戀：

• Xerox、Coca-Cola、IBM、Polaroid、McDonald’s、IFF
• 1972 年 12 月：Polaroid 本益比 96 倍、McDonald’s 80 倍、IFF 73 倍
• 同期 S&P 500 平均本益比僅 19 倍
• 投資人視風險為「沒買到」，而非「買貴了」

結局：

• 1976 年 IFF 跌 40%，U.S. Steel 漲一倍
• 漂亮 50 直到 1980 年 7 月才回到 1972 年高點
• 1976–1990 年漂亮 50 的等權重組合輸給 S&P 500

「投資界的無限在哪裡？」這是聖彼得堡悖論留給每個世代投資人的提問。

人力資本：Bernoulli 的另一個前瞻洞察#

Bernoulli 對「財富」的定義超越有形資產：

「財富是任何能適切滿足任何需求之物……除非餓死，沒有人能說自己一無所有。」

他舉例：一個年靠乞討賺 10 ducat 的乞丐，可能拒絕 50 ducat 換取永不乞討——因為花完 50 後他無以為生。但他可能接受 100 ducat 的條件——這意味他「擁有 100 ducat 的財富」。

這就是現代「人力資本」（human capital）概念的雛形。對 1738 年的 Bernoulli 而言，生產能力比有形資產與金融求償權更有價值。今天我們之所以買壽險，正因為人力資本仍是大多數人最大的所得來源。

風險：從面對到選擇#

Bernoulli 的目標寫在論文一開頭：

建立規則，讓任何人能在自身財務狀況下評估冒險的展望。

這句話成為今日財務經濟學家、企業經營者、投資人的核心教條。風險不再是必須面對的命運，而是一組可被選擇的機會集合。

啟蒙時代的理性：Bernoulli 的時代背景#

Bernoulli 寫作的 1738 年正是啟蒙運動的高峰：

• Alexander Pope 警告：「一知半解是危險的事」
• Diderot 即將開始 28 卷百科全書編纂
• Samuel Johnson 即將編成首部英語字典
• Voltaire 在思想圈居中
• 1750 年代 Haydn 定義了交響曲與奏鳴曲的古典形式
• 啟蒙樂觀主義將塑造美國《獨立宣言》與《憲法》

Bernoulli 的「人類理性」概念恰好契合這個氛圍——他相信效用可被精確衡量，理性人能依此做選擇。

一個未解的疑問#

Bernoulli 自豪地寫道：「由於我們的命題完全與經驗一致，將其視為基於不穩假設的抽象而忽略，便是錯誤。」

但兩百年後一場猛烈的攻擊將揭示——他的命題並沒有「完全與經驗一致」，因為他對人類理性的假設本身，比這位啟蒙運動的人想承認的更為脆弱。這場攻擊將在第 16、17 章登場。

風險規避的長尾應用#

Bernoulli 寫道：

假設你的券商推薦兩種共同基金：

• 小型股基金：69 年平均年報酬 18%，但兩標準差落在 -23% 至 +59%；近三分之一年份為負報酬，平均跌 20%
• S&P 500 基金：平均年報酬 13%，兩標準差落在 -11% 至 +36%；負報酬年平均跌 13%

在你的人生剩餘時間裡，你會買哪一個？

這個問題沒有客觀答案——它取決於你的效用函數、你的風險規避度、你願意承受波動的程度。這正是 Bernoulli 留給後世的提問：風險的決策最終必須回到「人是誰」。