Chuck Allison

浮點數不是「實數」#

浮點數（floating-point numbers）在數學意義上不是「實數（real numbers）」，儘管某些程式語言（如 Pascal 和 Fortran）稱它們為 real。實數具有無限精度且連續無損失；浮點數的精度有限，它們是有限的，類似於「行為不良的整數」，因為它們在整個範圍內並非均勻分布。

精度的間距問題#

舉例說明：將 2147483647（32 位元有號整數最大值）賦值給一個 32 位元的 float 變數 x 並印出，你會看到 2147483648。印出 x-64，仍然是 2147483648。但印出 x-65，你會得到 2147483520！因為在該範圍內，相鄰浮點數的間距是 128。

IEEE 浮點數是基於二進位的固定精度數字，使用科學記號表示法：1.d₁d₂...d_{p-1} × 2ᵉ，其中 p 是精度（float 為 24，double 為 53）。兩個連續數字之間的間距為 2^(1-p+e)，可以用 machine epsilon（ε = 2^(1-p)）近似為 ε|x|。

了解浮點數鄰近區域的間距，可以避免經典的數值錯誤。例如在迭代計算中，確保你要求的容差不小於該區域的間距，否則程式會無限循環。

捨入誤差（Roundoff）與災難性消去（Catastrophic Cancellation）#

由於浮點數是實數的近似值，不可避免地存在少量誤差，稱為捨入誤差（roundoff）。當你相減兩個近乎相等的數字時，最高有效位數互相消去，原本在最低有效位的捨入誤差被提升到最高有效位，汙染後續所有計算——這稱為抹消現象（smearing）。你需要仔細檢視演算法以防止災難性消去（catastrophic cancellation）。

例如用二次方程式公式解 x² - 100000x + 1 = 0 時，可以改用另一種計算方式來避免此問題。

實務建議#

• 計算 eˣ 的函式庫若對大的負數 x 天真地使用 1 + x + x²/2 + x³/3! + ...，可能會因為正負項交替導致捨入誤差累積到正無窮大。解法很簡單：對負數 x，改為計算 eˣ = 1/e^|x|
• 財務應用不應使用浮點數——應使用 Python 和 C# 等語言中的 decimal 類別
• 浮點數是為了高效科學計算而設計的，但效率在準確度面前毫無意義

記住捨入誤差的來源，並據此撰寫程式碼！